В задании 3 часто дан многогранник, склеенный из прямоугольных параллелепипедов или полученный вырезанием. Его объём — сумма или разность объёмов «кирпичей», а площадь поверхности считают, помня, что при вырезе часть граней исчезает, а часть добавляется.
Приёмы. Объём: разрезать на параллелепипеды и сложить, или дополнить до параллелепипеда и вычесть вырез. Поверхность: у многогранника с «ступенькой» площадь поверхности равна площади поверхности описанного параллелепипеда (все грани вырезанного угла проецируются на грани коробки); у многогранника со сквозным отверстием или вырезом в середине грани добавляются стенки выреза. Объём части пирамиды или призмы, отсечённой плоскостью через вершины: объём тетраэдра на трёх рёбрах из одной вершины куба — \(\dfrac16\) куба; пирамида с вершиной в вершине призмы и основанием — противоположным основанием призмы — \(\dfrac13\) объёма призмы.
Как это работает. Из куба с ребром 4 вырезан угол — куб с ребром 1. Найдём объём и площадь поверхности получившегося многогранника.
- Объём: \(64 - 1 = 63\).
- Поверхность: три грани маленького куба, которые были частью поверхности большого, убраны (\(-3\)), но открылись три новые грани выреза (\(+3\)); площадь не изменилась: \(6 \cdot 16 = 96\).
- Ответ: 63; 96.
Ещё пример. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины \(A\), \(B\), \(C\), \(D_1\) прямоугольного параллелепипеда с рёбрами \(AB = 3\), \(AD = 4\), \(AA_1 = 5\).
Решение. Это треугольная пирамида с основанием \(ABC\) (прямоугольный треугольник, \(S = 6\)) и высотой \(D_1D = 5\): \(V = \dfrac13 \cdot 6 \cdot 5 = 10\). Ответ: 10.
Лайфхак. Для пирамиды с вершинами в вершинах параллелепипеда ищите грань параллелепипеда, в которой лежит основание пирамиды: тогда высота — ребро параллелепипеда. Объём получается в одну строку.
Типичная ошибка. При вырезе угла уменьшают площадь поверхности на три грани выреза. Три грани уходят, три появляются — площадь поверхности не меняется; меняется только объём.
На ЕГЭ. Задание 3: «Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые)», «найдите площадь поверхности многогранника», «объём треугольной пирамиды с вершинами в вершинах параллелепипеда». Числа на рисунке — рёбра в единицах длины.
