Признаки делимости по сумме цифр: 3, 9, 11 и составные признаки
Вторая группа признаков смотрит на все цифры числа сразу. Причина — в разрядах: \(10 = 9 + 1\), \(100 = 99 + 1\), \(1000 = 999 + 1\), поэтому число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9 (и на 3).
Правило. Число делится на 3 (на 9), если сумма его цифр делится на 3 (на 9). Число делится на 11, если разность между суммой цифр на нечётных местах и суммой цифр на чётных местах делится на 11 (в том числе равна 0). Число делится на составной делитель \(m = ab\), где \(a\) и \(b\) не имеют общих множителей, если оно делится и на \(a\), и на \(b\): на 6 — это 2 и 3, на 12 — 3 и 4, на 15 — 3 и 5, на 18 — 2 и 9.
Как это работает. Найдём цифру \(x\), при которой число \(\overline{7x25}\) делится на 9.
- Складываем известные цифры: \(7 + 2 + 5 = 14\).
- Ближайшее к 14 число, кратное 9 и не меньшее 14, — это 18. Значит, \(x = 18 - 14 = 4\).
- Проверяем: \(7425 = 9 \cdot 825\). Ответ: 4.
Ещё пример. Делится ли число 918 192 на 11?
Решение. Нумеруем цифры с конца: на нечётных местах стоят 2, 1, 1 (сумма 4), на чётных — 9, 8, 9 (сумма 26). Разность \(4 - 26 = -22\) делится на 11. Ответ: да, \(918\,192 = 11 \cdot 83\,472\).
Лайфхак. Остаток от деления на 9 равен остатку суммы цифр, а сумму цифр можно складывать дальше, пока не останется одна цифра: \(5847 \to 24 \to 6\), остаток 6. Так быстро проверяют вычисления: остаток произведения равен остатку произведения остатков.
Типичная ошибка. Признака делимости «на 7 по сумме цифр» не существует: на 7 проверяют делением. Признак по сумме цифр работает только для 3 и 9.
На ЕГЭ. «Сумма цифр числа равна 27, число нечётное и делится на 5» — типичное условие задания 20. Сумма цифр 27 означает делимость на 9, а конец на 5 — делимость на 5; значит, число делится на 45.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward