Производная и её смысл

Производная функции в точке \(x_0\) — предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.\]

Она показывает скорость изменения функции: на сколько примерно изменится \(f\), если \(x\) увеличить на единицу. Если \(f' \gt 0\), функция в этой точке растёт, если \(f' \lt 0\) — убывает.

Геометрический смысл: \(f'(x_0) = \operatorname{tg} \alpha = k\) — угловой коэффициент касательной к графику в точке \(x_0\), где \(\alpha\) — угол наклона касательной к оси \(Ox\). Физический смысл: если \(x(t)\) — координата точки, то \(v(t) = x'(t)\) — скорость, \(a(t) = v'(t)\) — ускорение.

Пример. На рисунке касательная к графику функции в точке \(x_0\) проходит через узлы сетки \((-2; 1)\) и \((4; 4)\). Найдите \(f'(x_0)\).
Решение. \(k = \dfrac{4 - 1}{4 - (-2)} = \dfrac{3}{6} = 0{,}5\).

Пример. Материальная точка движется по закону \(x(t) = t^3 - 3t^2 + 5t\) (м). Найдите её скорость в момент \(t = 2\) с.
Решение. \(v(t) = 3t^2 - 6t + 5\), \(v(2) = 12 - 12 + 5 = 5\) м/с.

Пример. Найдите производную функции \(f(x) = x^2\) в точке \(x_0 = 3\) по определению.
Решение. \(\dfrac{(3 + \Delta x)^2 - 9}{\Delta x} = \dfrac{6\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x} = 6 + \Delta x \to 6\).