Таблица производных и правила дифференцирования
| Функция | Производная | Функция | Производная |
|---|---|---|---|
| \(C\) | \(0\) | \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n - 1}\) | \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(\operatorname{tg} x\) | \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\operatorname{ctg} x\) | \(-\dfrac{1}{\sin^2 x}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) |
| \(a^x\) | \(a^x \ln a\) | \(\log_a x\) | \(\dfrac{1}{x \ln a}\) |
Правила: \((u \pm v)' = u' \pm v'\), \((Cu)' = Cu'\), \((uv)' = u'v + uv'\), \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\).
Пример. Найдите производную функции \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7\).
Решение. \(f'(x) = 12x^3 - 4x + 5\).
Пример. Найдите \(f'(1)\), если \(f(x) = x^2 \ln x\).
Решение. \(f'(x) = 2x\ln x + x^2 \cdot \dfrac1x = 2x\ln x + x\); \(f'(1) = 0 + 1 = 1\).
Пример. Найдите производную функции \(y = \dfrac{x}{x + 1}\).
Решение. \(y' = \dfrac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \dfrac{1}{(x + 1)^2}\).
Лайфхак. Перед дифференцированием упростите: \(\dfrac{x^3 + x}{x} = x^2 + 1\), \(\sqrt{x^3} = x^{1{,}5}\), \(\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}\). Формула \((x^n)' = nx^{n - 1}\) работает для любого показателя, а дробь без правила частного дифференцируется быстрее.
Как это спрашивают на ЕГЭ. Задание 9: производная по графику функции или касательной, физический смысл, касательная, параллельная данной прямой, точки экстремума и наибольшее значение на отрезке. Задание 17: производная функции-модели.
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward