Сложная функция и касательная

Производная сложной функции: \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\) — производная внешней функции по внутренней, умноженная на производную внутренней. \((\sin 3x)' = 3\cos 3x\), \(\left((2x - 1)^5\right)' = 5(2x - 1)^4 \cdot 2\), \(\left(e^{x^2}\right)' = 2xe^{x^2}\), \((\ln(x^2 + 1))' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}\).

Уравнение касательной к графику \(y = f(x)\) в точке \(x_0\):

\[y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0).\]

Касательная параллельна прямой \(y = kx + b\), когда \(f'(x_0) = k\); прямая \(y = kx + b\) касается графика, если в точке касания совпадают и значения функций, и производные.

Пример. Найдите производную функции \(f(x) = (x - 8)e^{x - 7}\).
Решение. \(f'(x) = e^{x - 7} + (x - 8)e^{x - 7} = (x - 7)e^{x - 7}\).

Пример. Прямая \(y = 3x + 1\) касается графика функции \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 6x + b\). Найдите \(b\).
Решение. \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 6 = 3\), \(x^2 - 2x + 1 = 0\), \(x_0 = 1\). Значения: \(f(1) = 1 - 3 + 6 + b = 4 + b\), а на прямой \(y(1) = 4\). Значит, \(b = 0\).

Пример. Составьте уравнение касательной к графику \(y = x^2 - 4x + 3\) в точке \(x_0 = 3\).
Решение. \(y(3) = 0\), \(y' = 2x - 4\), \(y'(3) = 2\). Касательная: \(y = 0 + 2(x - 3) = 2x - 6\).