Простейшие тригонометрические уравнения
| Уравнение | Решения (\(k \in \mathbb{Z}\)) | Частные случаи |
|---|---|---|
| \(\sin x = a\), \(|a| \le 1\) | \(x = (-1)^k \arcsin a + \pi k\), то есть \(x = \arcsin a + 2\pi k\) или \(x = \pi - \arcsin a + 2\pi k\) | \(\sin x = 0\): \(x = \pi k\); \(\sin x = 1\): \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\); \(\sin x = -1\): \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\) |
| \(\cos x = a\), \(|a| \le 1\) | \(x = \pm \arccos a + 2\pi k\) | \(\cos x = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\); \(\cos x = 1\): \(x = 2\pi k\); \(\cos x = -1\): \(x = \pi + 2\pi k\) |
| \(\operatorname{tg} x = a\) | \(x = \operatorname{arctg} a + \pi k\) | \(\operatorname{tg} x = 0\): \(x = \pi k\) |
При \(|a| \gt 1\) уравнения \(\sin x = a\) и \(\cos x = a\) решений не имеют. Если аргумент сложный, решают сначала относительно него, потом выражают \(x\).
Пример. Решите уравнение \(\sin 2x = -\dfrac{\sqrt3}{2}\).
Решение. \(2x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\) или \(2x = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k\), значит, \(x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi k\) или \(x = \dfrac{2\pi}{3} + \pi k\).
Пример. Решите уравнение \(\cos \dfrac{\pi(x - 1)}{3} = \dfrac12\) и найдите его наибольший отрицательный корень.
Решение. \(\dfrac{\pi(x - 1)}{3} = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(x - 1 = \pm 1 + 6k\): \(x = 2 + 6k\) или \(x = 6k\). Отрицательные корни \(-4, -6, -10, -12, \ldots\); наибольший \(-4\).
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward