Методы решения: замена, разложение, однородные уравнения

1. Сведение к одной функции и замена. Формулы \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1\) и \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) приводят уравнение к квадратному относительно \(\sin x\) или \(\cos x\).

Пример. Решите уравнение \(\cos 2x + 3\sin x - 2 = 0\).
Решение. \(1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0\), \(2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0\); \(\sin x = 1\) или \(\sin x = \dfrac12\). Ответ: \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\); \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\); \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\).

2. Разложение на множители. \(\sin 2x = \sqrt3 \cos x\) \(\Leftrightarrow\) \(2\sin x\cos x - \sqrt3\cos x = 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\cos x(2\sin x - \sqrt3) = 0\): \(\cos x = 0\) или \(\sin x = \dfrac{\sqrt3}{2}\). Делить обе части на \(\cos x\) нельзя — потеряются корни \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\).

3. Однородные уравнения. \(a\sin x + b\cos x = 0\) делят на \(\cos x\) (при \(\cos x = 0\) получилось бы \(\sin x = 0\), а вместе они не обращаются в нуль): \(\operatorname{tg} x = -\dfrac{b}{a}\). Однородное второй степени \(a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0\) делят на \(\cos^2 x\) и получают квадратное относительно \(\operatorname{tg} x\).

Пример. Решите уравнение \(\sin^2 x - 3\sin x\cos x + 2\cos^2 x = 0\).
Решение. \(\operatorname{tg}^2 x - 3\operatorname{tg} x + 2 = 0\), \(\operatorname{tg} x = 1\) или \(\operatorname{tg} x = 2\): \(x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k\), \(x = \operatorname{arctg} 2 + \pi k\).