Отбор корней на отрезке

Пункт б) задания 14 требует указать корни на отрезке. Три способа:

1. Числовая окружность: отмечаем дугу, соответствующую отрезку, и точки серий на ней; подписываем каждую точку значением из нужного оборота.
2. Двойное неравенство: для серии \(x = \alpha + 2\pi k\) решаем \(A \le \alpha + 2\pi k \le B\) относительно целого \(k\).
3. Перебор значений \(k\) подряд, пока корни не выйдут за отрезок.

Пример. Найдите корни серии \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\) на отрезке \(\left[-\dfrac{5\pi}{2}; -\pi\right]\).
Решение. \(-\dfrac{5}{2} \le \dfrac14 + 2k \le -1\), \(-\dfrac{11}{8} \le k \le -\dfrac58\). Целое \(k = -1\): \(x = \dfrac{\pi}{4} - 2\pi = -\dfrac{7\pi}{4}\).

Пример. Отберите корни уравнения \(\cos x = \dfrac12\) на отрезке \(\left[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi\right]\).
Решение. Серии \(x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\). Отрезок — от \(\dfrac{3\pi}{2}\) до \(3\pi\), полтора оборота. Из серии \(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\): \(\dfrac{7\pi}{3}\) (\(k = 1\)). Из серии \(-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\): \(\dfrac{5\pi}{3}\) (\(k = 1\)); \(\dfrac{11\pi}{3} \gt 3\pi\) не подходит. Ответ: \(\dfrac{5\pi}{3}\), \(\dfrac{7\pi}{3}\).