Уравнения с ОДЗ: дроби, корни, логарифмы

В уравнениях вида \(\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0\), \(\sqrt{g(x)} \cdot f(x) = 0\), \(\log_a g(x) \cdot f(x) = 0\) тригонометрическая часть \(f(x)\) даёт серии корней, а условие \(g(x) \ne 0\), \(g(x) \ge 0\) или \(g(x) \gt 0\) часть из них вычёркивает. Отбор по ОДЗ удобно делать на окружности: отмечают «запрещённые» точки и убирают их из серий.

Пример. Решите уравнение \(\dfrac{2\sin^2 x - \sin x}{\cos x + 1} = 0\).
Решение. Числитель: \(\sin x(2\sin x - 1) = 0\), \(\sin x = 0\) или \(\sin x = \dfrac12\): \(x = \pi k\), \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\). Знаменатель: \(\cos x \ne -1\), то есть \(x \ne \pi + 2\pi k\). Серия \(x = \pi k\) превращается в \(x = 2\pi k\). Ответ: \(2\pi k\); \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\); \(\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\).

Пример. Решите уравнение \(\sqrt{-\cos x} \cdot (2\sin x + 1) = 0\).
Решение. ОДЗ: \(\cos x \le 0\). Либо \(\cos x = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\); либо \(\sin x = -\dfrac12\): \(x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\) (косинус положителен — не подходит) или \(x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\) (косинус отрицателен — подходит). Ответ: \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k\); \(-\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\).

Показательные и логарифмические «оболочки» снимаются свойствами монотонности: \(4^{\sin x} = 2^{\sqrt2 \sin x}\) даёт \(2\sin x = \sqrt2\sin x\); \(\log_3(\cos x) = 0\) даёт \(\cos x = 1\).