Шар, сфера и комбинации тел
Шар радиуса \(R\): \(V = \dfrac43\pi R^3\), площадь сферы \(S = 4\pi R^2\). Сечение шара плоскостью — круг; если плоскость на расстоянии \(d\) от центра, радиус сечения \(r = \sqrt{R^2 - d^2}\). Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
| Комбинация | Связь размеров |
|---|---|
| Шар вписан в куб с ребром \(a\) | \(R = \dfrac{a}{2}\) |
| Шар описан около куба | \(R = \dfrac{a\sqrt3}{2}\) |
| Шар вписан в цилиндр | \(h = 2R\), радиус цилиндра \(R\); \(V_{\text{шара}} : V_{\text{цил}} = 2 : 3\), так же относятся площади поверхностей |
| Шар вписан в конус | центр — на оси, на пересечении биссектрис осевого сечения; \(r = \dfrac{S_{\triangle}}{p}\) для осевого сечения |
| Шар описан около прямоугольного параллелепипеда | диаметр равен диагонали: \(2R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) |
Пример. Около куба с ребром \(\sqrt{12}\) описан шар. Найдите его объём, делённый на \(\pi\).
Решение. \(R = \dfrac{\sqrt{12} \cdot \sqrt3}{2} = 3\), \(V = \dfrac43\pi \cdot 27 = 36\pi\). Ответ: 36.
Пример. Шар радиуса 5 пересечён плоскостью на расстоянии 3 от центра. Найдите площадь сечения.
Решение. \(r = \sqrt{25 - 9} = 4\), \(S = 16\pi\).
Пример. Во сколько раз площадь поверхности шара больше площади большого круга?
Решение. \(\dfrac{4\pi R^2}{\pi R^2} = 4\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward