Цилиндр и конус
| Тело | Объём | Площадь поверхности | Осевое сечение |
|---|---|---|---|
| Цилиндр (радиус \(r\), высота \(h\)) | \(\pi r^2 h\) | боковая \(2\pi rh\), полная \(2\pi r(r + h)\) | прямоугольник \(2r \times h\) |
| Конус (радиус \(r\), высота \(h\), образующая \(l\)) | \(\dfrac13 \pi r^2 h\) | боковая \(\pi r l\), полная \(\pi r(r + l)\) | равнобедренный треугольник с боковыми сторонами \(l\) |
| Усечённый конус | \(\dfrac13\pi h(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)\) | боковая \(\pi(r_1 + r_2)l\) | равнобокая трапеция |
У конуса \(l^2 = r^2 + h^2\). Развёртка боковой поверхности конуса — круговой сектор радиуса \(l\) с дугой \(2\pi r\); развёртка цилиндра — прямоугольник \(2\pi r \times h\). Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, — прямоугольник; сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, — круг, подобный основанию.
Пример. Жидкость в цилиндрическом сосуде стоит на уровне 16 см. Её переливают в сосуд, диаметр которого вдвое больше. Каким будет уровень?
Решение. Площадь основания увеличится в 4 раза, уровень уменьшится в 4 раза: 4 см.
Пример. Образующая конуса равна 10, радиус основания 6. Найдите объём.
Решение. \(h = \sqrt{100 - 36} = 8\), \(V = \dfrac13 \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi\).
Пример. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Объём цилиндра равен 150. Найдите объём конуса.
Решение. В три раза меньше: 50.
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward