Симметрия, модуль и число решений

Симметрия. Если уравнение не меняется при замене \(x\) на \(-x\), его решения идут парами \(x\) и \(-x\). Единственным решение может быть только при \(x = 0\). Отсюда метод: подставить \(x = 0\), найти подходящие \(a\) (необходимое условие) и проверить каждое из них (достаточность).

Графики с модулем. График \(y = |f(x)|\) получается из графика \(y = f(x)\) отражением частей ниже оси абсцисс; график \(y = f(|x|)\) — отражением правой половины налево. Число решений уравнения \(|f(x)| = a\) меняется при \(a = 0\) и при значениях \(a\), равных локальным максимумам и минимумам функции \(|f(x)|\).

Пример. При каких \(a\) уравнение \(x^2 + a|x| + a^2 - 4 = 0\) имеет единственное решение?
Решение. Уравнение чётно по \(x\), поэтому единственное решение — \(x = 0\): \(a^2 - 4 = 0\), \(a = \pm 2\). При \(a = 2\): \(x^2 + 2|x| = 0\), только \(x = 0\) — подходит. При \(a = -2\): \(|x|(|x| - 2) = 0\), решения \(0\) и \(\pm 2\) — не подходит. Ответ: \(a = 2\).

Пример. Сколько решений имеет уравнение \(|x^2 - 4x| = a\) в зависимости от \(a\)?
Решение. График \(y = |x^2 - 4x|\) касается оси абсцисс в точках 0 и 4 и имеет локальный максимум \(4\) при \(x = 2\). При \(a \lt 0\) решений нет, при \(a = 0\) — два, при \(0 \lt a \lt 4\) — четыре, при \(a = 4\) — три, при \(a \gt 4\) — два.