Расположение корней квадратного трёхчлена

Пусть \(f(x) = ax^2 + bx + c\), \(a \ne 0\), \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\) — абсцисса вершины параболы. Расположение корней относительно числа \(M\) задаётся условиями на дискриминант, знак \(af(M)\) и положение вершины.

Пример. При каких \(a\) оба корня уравнения \(x^2 - 2ax + a + 6 = 0\) больше 1?
Решение. \(\dfrac{D}{4} = a^2 - a - 6 \ge 0\): \(a \le -2\) или \(a \ge 3\). \(f(1) = 7 - a \gt 0\): \(a \lt 7\). Вершина \(x_0 = a \gt 1\). Пересечение: \(a \in [3; 7)\) (при \(a = 3\) корень \(x = 3\) двукратный).

Пример. При каких \(a\) число 3 лежит между корнями уравнения \(x^2 - 2(a + 1)x + 4a = 0\)?
Решение. Старший коэффициент положителен, нужно \(f(3) \lt 0\): \(9 - 6(a + 1) + 4a = 3 - 2a \lt 0\), \(a \gt 1{,}5\).