Системы линейных уравнений
Система уравнений — несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно; решение системы — общая пара (тройка) значений неизвестных. Систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными решают подстановкой или сложением.
Способы. Подстановка: из одного уравнения выразить неизвестное и подставить в другое. Сложение: умножить уравнения на числа так, чтобы при сложении одно неизвестное исчезло. Число решений системы \(\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1, \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}\): одно, если \(\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}\) (прямые пересекаются); нет, если \(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}\) (параллельны); бесконечно много, если все три отношения равны (прямые совпадают).
Как это работает. Решим систему \(\begin{cases} 2x + y = 12, \\ -x + y = -3. \end{cases}\)
- Способ сложения: вычитаем из первого уравнения второе — \(y\) исчезает: \(3x = 15\), \(x = 5\).
- Подставляем в любое уравнение: \(-5 + y = -3\), \(y = 2\).
- Проверка в первом: \(10 + 2 = 12\). Ответ: \((5; 2)\).
Ещё пример. Сколько решений имеет система \(\begin{cases} 2x - 4y = 6, \\ x - 2y = 3? \end{cases}\)
Решение. Второе уравнение, умноженное на 2, совпадает с первым: \(\dfrac{2}{1} = \dfrac{-4}{-2} = \dfrac{6}{3}\). Уравнения задают одну прямую. Ответ: бесконечно много.
Лайфхак. Выбирайте способ по виду системы: если у неизвестного коэффициент 1 или \(-1\) — подстановка; если коэффициенты при одном неизвестном равны или противоположны — сложение. Ответ системы — пара чисел; в бланк записывают ту величину, которую спрашивают (\(x\), \(y\) или их сумму).
Типичная ошибка. Найдя \(x\), подставляют его не в исходное уравнение, а в преобразованное с ошибкой. Для проверки подставляйте оба числа в оба исходных уравнения.
На ЕГЭ. Системы линейных уравнений возникают в текстовых задачах задания 11 (два неизвестных: «купили 3 ручки и 2 тетради…») и в задании 19 при разборе параметра. Условие «система не имеет решений» переводится в пропорциональность коэффициентов.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward