Нелинейные системы: подстановка и теорема Виета
Если одно уравнение системы линейное, из него выражают неизвестное и подставляют во второе — получается уравнение с одним неизвестным. Если оба уравнения симметричны относительно \(x\) и \(y\), их переписывают через сумму и произведение и используют теорему Виета.
Приёмы. 1) Подстановка: \(\begin{cases} y = x + 1, \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} \Rightarrow x^2 + (x + 1)^2 = 25\). 2) Виета: если \(x + y = s\), \(xy = p\), то \(x\) и \(y\) — корни уравнения \(t^2 - st + p = 0\). Полезно: \(x^2 + y^2 = s^2 - 2p\). 3) Деление или вычитание уравнений, если это убирает неизвестное.
Как это работает. Решим систему \(\begin{cases} x + y = 4, \\ xy = -21. \end{cases}\)
- \(x\) и \(y\) — корни уравнения \(t^2 - 4t - 21 = 0\).
- Корни: \(t = 7\) и \(t = -3\).
- Два решения: \((7; -3)\) и \((-3; 7)\). Наименьшее из чисел \(x\) по всем решениям равно \(-3\). Ответ: \((7; -3)\), \((-3; 7)\).
Ещё пример. Решите систему \(\begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 + y^2 = 20. \end{cases}\)
Решение. \(x = y + 2\): \((y + 2)^2 + y^2 = 20\), \(2y^2 + 4y - 16 = 0\), \(y^2 + 2y - 8 = 0\), \(y = 2\) или \(y = -4\). Тогда \(x = 4\) или \(x = -2\). Ответ: \((4; 2)\), \((-2; -4)\).
Лайфхак. Решение системы с двумя неизвестными — пары чисел; записывайте их парами и не теряйте половину: из \(y = 2\) следует конкретный \(x = 4\), а не оба значения \(x\). Проверяйте каждую пару во втором уравнении.
Типичная ошибка. «Перемножают» решения: из \(y \in \{2; -4\}\) и \(x \in \{4; -2\}\) пишут четыре пары. Верных пар только две — те, что связаны уравнением \(x = y + 2\).
На ЕГЭ. Системы с квадратными уравнениями — в задании 19 (система с параметром) и в геометрии задания 18, где стороны находят из системы «периметр и площадь»: \(x + y = s\), \(xy = p\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward