Системы неравенств
Система неравенств требует выполнения всех неравенств одновременно, поэтому её решение — пересечение решений отдельных неравенств. Каждое неравенство решают отдельно, затем отмечают все решения на одной числовой прямой и выбирают общую часть.
Алгоритм. 1) Решить каждое неравенство системы. 2) Изобразить решения на одной прямой — разной штриховкой или на параллельных линиях. 3) Выбрать промежутки, покрытые всеми штриховками. 4) Проверить концы: конец входит в ответ, если он входит в решения всех неравенств. Если общих точек нет, система решений не имеет.
Как это работает. Решим систему \(\begin{cases} (x + 7)(x - 7) \le 0, \\ x \ge -3 \end{cases}\) и найдём число её целых решений.
- Первое неравенство: \(-7 \le x \le 7\). Второе: \(x \ge -3\).
- Пересечение: \(-3 \le x \le 7\).
- Целые решения от \(-3\) до 7: их \(7 - (-3) + 1 = 11\). Ответ: \([-3; 7]\); 11 целых решений.
Ещё пример. Решите систему \(\begin{cases} 2x - 1 \gt 5, \\ x^2 \lt 16. \end{cases}\)
Решение. Первое: \(x \gt 3\). Второе: \(-4 \lt x \lt 4\). Пересечение: \(3 \lt x \lt 4\). Ответ: \((3; 4)\).
Лайфхак. Число целых чисел на отрезке \([a; b]\) с целыми концами равно \(b - a + 1\). Для промежутка с выколотыми концами сначала найдите ближайшие целые внутри, потом считайте.
Типичная ошибка. Объединяют решения вместо пересечения: для системы «\(x \gt 3\) и \(x \lt 4\)» пишут «все \(x\)». Система — это «и», её решения — только общие точки.
На ЕГЭ. Система неравенств — это ОДЗ в заданиях 14, 15, 17 (несколько условий сразу) и промежуточный шаг в задании 15 после рационализации. Записывать её фигурной скобкой и решать пересечением — обязательная техника.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward