Совокупности уравнений и неравенств

Совокупность — несколько уравнений или неравенств, из которых должно выполняться хотя бы одно. Её решение — объединение решений. Совокупность обозначают квадратной скобкой, систему — фигурной. Совокупности возникают при раскрытии модуля, в методе интервалов и при разборе случаев.

Как это работает. Найдём, сколько целых чисел из отрезка \([-10; 10]\) удовлетворяют совокупности \(\left[\begin{array}{l} x^2 \lt 4, \\ x \ge 8. \end{array}\right.\)

1. Первое неравенство: \(-2 \lt x \lt 2\), целые решения \(-1, 0, 1\) — три числа.
2. Второе: \(x \ge 8\), на отрезке — \(8, 9, 10\) — три числа.
3. Объединение: шесть чисел. Ответ: 6.

Ещё пример. Решите уравнение \((x^2 - 4)\sqrt{x - 1} = 0\).
Решение. Совокупность: \(x^2 - 4 = 0\) при условии \(x - 1 \ge 0\), или \(x - 1 = 0\). Из первого \(x = \pm 2\), подходит только \(x = 2\); из второго \(x = 1\). Ответ: 1; 2.