Системы уравнений

Система (фигурная скобка) требует одновременного выполнения всех условий; её решения — пересечение множеств решений. Основные методы: подстановка — выразить одну переменную через другую; сложение — сложить уравнения, умноженные на подходящие числа, чтобы исчезла переменная; замена — если уравнения содержат одинаковые блоки.

Пример. Решите систему \(\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 12. \end{cases}\)
Решение. По обратной теореме Виета \(x\) и \(y\) — корни \(t^2 - 7t + 12 = 0\), то есть 3 и 4. Ответ: \((3; 4)\), \((4; 3)\).

Пример. Решите систему \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x - y = 1. \end{cases}\)
Решение. \(x = y + 1\): \((y + 1)^2 + y^2 = 25\), \(2y^2 + 2y - 24 = 0\), \(y = 3\) или \(y = -4\). Ответ: \((4; 3)\), \((-3; -4)\).

Симметрические системы (не меняются при перестановке \(x\) и \(y\)) решают через \(u = x + y\), \(v = xy\): \(x^2 + y^2 = u^2 - 2v\), \(x^3 + y^3 = u^3 - 3uv\). Систему из линейных уравнений можно решить и через определитель (см. порцию об определителях).

Пример. Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг воды, получили 62%-й раствор; если вместо воды добавить 10 кг 50%-го раствора, получится 72%-й. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали?
Решение. \(\begin{cases} 0{,}45x + 0{,}97y = 0{,}62(x + y + 10), \\ 0{,}45x + 0{,}97y + 5 = 0{,}72(x + y + 10). \end{cases}\) Вычитая первое из второго, получаем \(5 = 0{,}1(x + y + 10)\), \(x + y = 40\); подставляя, находим \(x = 15\).