Совокупности и системы неравенств

Совокупность (квадратная скобка) требует выполнения хотя бы одного условия; решения — объединение. Уравнение \(f \cdot g = 0\) равносильно совокупности \(f = 0\) или \(g = 0\) на области определения обоих множителей. Система неравенств решается пересечением: каждое неравенство решают отдельно, затем на общей прямой находят общую часть.

Пример. Решите систему \(\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \le 0, \\ 2x - 3 \gt 1. \end{cases}\)
Решение. Первое: \(1 \le x \le 4\); второе: \(x \gt 2\). Пересечение: \((2; 4]\).

Пример. Решите совокупность \(\left[\begin{array}{l} x^2 \lt 4, \\ x \ge 3. \end{array}\right.\)
Решение. Первое: \((-2; 2)\); второе: \([3; +\infty)\). Объединение: \((-2; 2) \cup [3; +\infty)\).

Уравнение или неравенство с модулем раскрывают совокупностью или системой: \(|f| = a\) (\(a \gt 0\)) \(\iff\) \(f = a\) или \(f = -a\); \(|f| \lt a\) \(\iff\) \(-a \lt f \lt a\); \(|f| \gt a\) \(\iff\) \(f \lt -a\) или \(f \gt a\). Например, \(|2x - 1| \le 5\) \(\iff\) \(-5 \le 2x - 1 \le 5\) \(\iff\) \(-2 \le x \le 3\).