Среднее арифметическое, медиана и мода
Набор чисел — оценки, рост, зарплаты — описывают одним «типичным» значением. Таких значений три: среднее арифметическое, медиана и мода. Они отвечают на разные вопросы и могут сильно отличаться, если в наборе есть выбросы.
Определения. Среднее арифметическое \(\bar x = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\). Медиана — число в середине упорядоченного набора: при нечётном \(n\) средний элемент, при чётном — полусумма двух средних. Мода — значение, встречающееся чаще всего (мод может быть несколько или не быть). Медиана устойчива к выбросам, среднее — нет.
Как это работает. Найдём среднее, медиану и моду набора \(3, 7, 7, 10, 18\).
- Среднее: \(\dfrac{3 + 7 + 7 + 10 + 18}{5} = \dfrac{45}{5} = 9\).
- Набор упорядочен, \(n = 5\) — нечётное; медиана — третий элемент, 7.
- Мода — 7 (встречается дважды). Среднее больше медианы из-за большого значения 18. Ответ: 9; 7; 7.
Ещё пример. Найдите медиану набора \(12, 5, 9, 20, 7, 15\).
Решение. Упорядочим: \(5, 7, 9, 12, 15, 20\); \(n = 6\) — чётное; медиана — полусумма третьего и четвёртого: \(\dfrac{9 + 12}{2} = 10{,}5\). Ответ: 10,5.
Лайфхак. Если нужно найти неизвестное число по среднему, переходите к сумме: среднее, умноженное на количество, равно сумме всех чисел. Из набора \(4, 8, x\) со средним 7 получаем \(4 + 8 + x = 21\), \(x = 9\).
Типичная ошибка. Ищут медиану в неупорядоченном наборе, беря «то, что стоит посередине записи». Сначала числа выстраивают по возрастанию.
На ЕГЭ. Задание 6 (новое в 2027 году, случайные величины и статистика) может спрашивать среднее и медиану выборки или среднее значение случайной величины. В базовом ЕГЭ эти характеристики читают по таблице или диаграмме.
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward