Размах, дисперсия и стандартное отклонение
Два набора могут иметь одинаковое среднее, но разный разброс: \(9, 10, 11\) и \(0, 10, 20\). Разброс измеряют размахом (грубо) и дисперсией со стандартным отклонением (точнее): дисперсия — средний квадрат отклонения от среднего.
Формулы. Размах \(R = x_{\max} - x_{\min}\). Дисперсия \[D = \dfrac{(x_1 - \bar x)^2 + \dots + (x_n - \bar x)^2}{n} = \overline{x^2} - \bar x^2\] (средний квадрат минус квадрат среднего). Стандартное отклонение \(\sigma = \sqrt D\) — в тех же единицах, что и данные. Дисперсия неотрицательна; она равна нулю, только если все числа одинаковы.
Как это работает. Найдём дисперсию и стандартное отклонение набора \(2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\).
- Среднее: \(\dfrac{40}{8} = 5\).
- Отклонения: \(-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4\); их квадраты: \(9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16\); сумма 32.
- \(D = \dfrac{32}{8} = 4\), \(\sigma = 2\). Ответ: \(D = 4\), \(\sigma = 2\).
Ещё пример. Найдите дисперсию набора \(1, 2, 3, 4, 5\) по формуле «средний квадрат минус квадрат среднего».
Решение. \(\bar x = 3\); средний квадрат \(\dfrac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5} = 11\); \(D = 11 - 9 = 2\). Ответ: 2.
Лайфхак. Если среднее нецелое, считайте по формуле \(\overline{x^2} - \bar x^2\): квадраты самих чисел считать проще, чем квадраты дробных отклонений. Проверка: дисперсия не может быть отрицательной.
Типичная ошибка. Складывают отклонения без возведения в квадрат: их сумма всегда равна нулю, и «дисперсия» получается нулевой. Отклонения возводят в квадрат именно затем, чтобы минусы не съедали плюсы.
На ЕГЭ. Задание 6: дисперсия и стандартное отклонение случайной величины по таблице распределения (тема 6.2) и выборочная дисперсия небольшого набора. Числа подбирают так, чтобы корень извлекался.
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward