Сдвиг и растяжение данных. Среднее по частотам

11 заданий

Если ко всем числам прибавить одно и то же или все умножить на одно и то же, характеристики набора меняются предсказуемо: среднее и медиана сдвигаются и растягиваются вместе с данными, а дисперсия на сдвиг не реагирует вовсе. Если данные заданы таблицей частот, среднее считают как взвешенное.

Правила. Прибавили \(c\) ко всем числам: среднее, медиана, мода \(+c\); размах, дисперсия, \(\sigma\) не меняются. Умножили все на \(k\): среднее, медиана, мода, размах, \(\sigma\) умножаются на \(k\) (для \(\sigma\) и размаха — на \(|k|\)), дисперсия — на \(k^2\). Среднее по частотам: \[\bar x = \dfrac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.\]

Как это работает. Среднее набора равно 12, дисперсия 9. Каждое число увеличили на 3 и затем удвоили. Найдём новые среднее и дисперсию.

После прибавления 3: среднее \(15\), дисперсия \(9\).
После удвоения: среднее \(30\), дисперсия \(9 \cdot 2^2 = 36\), стандартное отклонение \(6\).
Ответ: среднее 30, дисперсия 36.

Ещё пример. В классе оценки за контрольную: «5» получили 6 человек, «4» — 10, «3» — 8, «2» — 1. Найдите средний балл.
Решение. \(\bar x = \dfrac{5 \cdot 6 + 4 \cdot 10 + 3 \cdot 8 + 2 \cdot 1}{6 + 10 + 8 + 1} = \dfrac{30 + 40 + 24 + 2}{25} = \dfrac{96}{25} = 3{,}84\). Ответ: 3,84.

Лайфхак. Чтобы упростить вычисление дисперсии, сдвиньте все данные на удобное число (дисперсия не изменится): для набора \(101, 103, 106\) считайте дисперсию набора \(1, 3, 6\).

Типичная ошибка. При умножении данных на \(k\) умножают дисперсию на \(k\), а не на \(k^2\). Дисперсия измеряется в квадратных единицах — поэтому и множитель в квадрате.

На ЕГЭ. Задание 6: «Случайную величину \(X\) умножили на 3 и прибавили 2; найдите дисперсию новой величины» — \(D(3X + 2) = 9D(X)\). Среднее по частотам — это математическое ожидание дискретной величины (тема 6.2).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward