Степень с рациональным показателем

Для \(a \gt 0\) степень с дробным показателем определяют через корень:

\[a^{\dfrac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}, \qquad a^{\dfrac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}.\]

Все свойства степеней сохраняются: \(8^{\dfrac23} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 4\), \(16^{0{,}75} = (2^4)^{\dfrac34} = 2^3 = 8\), \(\sqrt[3]{9} = 3^{\dfrac23}\). Поэтому произведение и частное корней разных степеней считают через показатели: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{a} = a^{\dfrac12 + \dfrac14} = a^{\dfrac34}\).

Пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{a^{3{,}33}}{a^{2{,}11} \cdot a^{2{,}22}}\) при \(a = \dfrac{2}{7}\).
Решение. Показатель: \(3{,}33 - 2{,}11 - 2{,}22 = -1\). Значение \(a^{-1} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5\).

Пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{7^{2{,}5} \cdot 49^{1{,}5}}{7^{4{,}5}}\).
Решение. \(49^{1{,}5} = 7^{3}\), поэтому показатель \(2{,}5 + 3 - 4{,}5 = 1\). Ответ: 7.

Пример. Найдите значение выражения \(\left(\sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[10]{3}\right)^{\dfrac{10}{3}}\).
Решение. \(3^{\dfrac15 + \dfrac1{10}} = 3^{\dfrac{3}{10}}\); \(\left(3^{\dfrac{3}{10}}\right)^{\dfrac{10}{3}} = 3\).