Степень с целым показателем
Степень с натуральным показателем — произведение одинаковых множителей: \(a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n}\). Определение продолжают на нуль и отрицательные числа так, чтобы сохранились свойства: \(a^0 = 1\), \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) при \(a \ne 0\). Например, \(2^{-3} = \dfrac18\), \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \dfrac{9}{4}\).
| Свойство | Пример |
|---|---|
| \(a^x a^y = a^{x + y}\) | \(3^{4} \cdot 3^{-2} = 3^2 = 9\) |
| \(\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x - y}\) | \(\dfrac{5^{7}}{5^{9}} = 5^{-2} = 0{,}04\) |
| \((a^x)^y = a^{xy}\) | \((2^3)^4 = 2^{12}\) |
| \((ab)^x = a^x b^x\) | \(2^{5} \cdot 5^{5} = 10^5\) |
| \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^x = \dfrac{a^x}{b^x}\) | \(\dfrac{6^4}{3^4} = 2^4 = 16\) |
Знак степени: отрицательное число в чётной степени положительно, в нечётной — отрицательно: \((-2)^4 = 16\), \((-2)^3 = -8\). Обратите внимание на запись: \(-2^4 = -16\), а \((-2)^4 = 16\).
Пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{4^{9} \cdot 2^{-8}}{8^{3}}\).
Решение. Приведём к основанию 2: \(\dfrac{2^{18} \cdot 2^{-8}}{2^{9}} = 2^{18 - 8 - 9} = 2\).
Пример. Вычислите \(\dfrac{(2^{-3})^{2} \cdot 2^{10}}{4^{2}}\).
Решение. \(\dfrac{2^{-6} \cdot 2^{10}}{2^{4}} = 2^{0} = 1\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward