Степень с целым показателем и её свойства
Степень \(a^n\) с натуральным \(n\) — это произведение \(n\) одинаковых множителей: \(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\). Нулевой и отрицательный показатели определяют так, чтобы сохранялись правила действий со степенями.
Определения и свойства (\(a \ne 0\)): \[a^0 = 1, \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}.\] \[a^m \cdot a^n = a^{m + n}, \qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{mn}.\] Умножаем степени с одним основанием — показатели складываем; делим — вычитаем; возводим степень в степень — перемножаем.
Как это работает. Найдём значение выражения \(\dfrac{3^{7} \cdot 3^{-4}}{3^{5}}\).
- В числителе произведение степеней с основанием 3: \(3^{7} \cdot 3^{-4} = 3^{7 + (-4)} = 3^{3}\).
- Делим: \(\dfrac{3^3}{3^5} = 3^{3 - 5} = 3^{-2}\).
- Отрицательный показатель — это дробь: \(3^{-2} = \dfrac{1}{9}\). Ответ: \(\dfrac19\).
Ещё пример. Вычислите \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3} \cdot 0{,}4^{2}\).
Решение. \(0{,}4 = \dfrac25\), поэтому выражение равно \(\left(\dfrac25\right)^{-3 + 2} = \left(\dfrac25\right)^{-1} = \dfrac52 = 2{,}5\). Ответ: 2,5.
Лайфхак. Отрицательный показатель «переворачивает» дробь, а не делает число отрицательным: \(2^{-3} = \dfrac18 \gt 0\). Десятичные дроби сразу переводите в обыкновенные: \(0{,}5 = \dfrac12\), \(0{,}25 = \dfrac14\), \(0{,}2 = \dfrac15\), \(1{,}5 = \dfrac32\).
Типичная ошибка. При умножении степеней показатели складывают, а не перемножают: \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7\), а не \(2^{12}\). И наоборот: \(\left(2^3\right)^4 = 2^{12}\).
На ЕГЭ. Свойства степени — основа задания 8 («Найдите значение выражения») и всей темы показательных уравнений: уравнение \(2^{x + 3} = 2^x \cdot 2^3\) решают именно этими правилами.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward