Степень произведения и частного. Приведение к одному основанию
Когда основания разные, свойства степеней напрямую не работают. Есть два выхода: либо основания одинаковы «в скрытом виде» (\(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\)), либо одинаковы показатели — тогда степени перемножают по основаниям.
Формулы. \[(ab)^n = a^n b^n, \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}, \qquad a^n \cdot b^n = (ab)^n.\] Степени чисел, которые нужно узнавать сразу: \(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\), \(16 = 2^4\), \(32 = 2^5\), \(64 = 2^6 = 4^3 = 8^2\), \(9 = 3^2\), \(27 = 3^3\), \(81 = 3^4\), \(25 = 5^2\), \(125 = 5^3\), \(49 = 7^2\), \(0{,}001 = 10^{-3}\).
Как это работает. Найдём значение выражения \(\dfrac{8^{5} \cdot 4^{3}}{2^{19}}\).
- Приводим всё к основанию 2: \(8^5 = \left(2^3\right)^5 = 2^{15}\), \(4^3 = \left(2^2\right)^3 = 2^6\).
- Числитель: \(2^{15} \cdot 2^6 = 2^{21}\).
- Делим: \(2^{21 - 19} = 2^2 = 4\). Ответ: 4.
Ещё пример. Вычислите \(\dfrac{6^{7}}{2^{5} \cdot 3^{6}}\).
Решение. Раскладываем \(6^7 = (2 \cdot 3)^7 = 2^7 \cdot 3^7\). Тогда \(\dfrac{2^7 \cdot 3^7}{2^5 \cdot 3^6} = 2^{2} \cdot 3^{1} = 12\). Ответ: 12.
Лайфхак. В выражениях вида \(\dfrac{a^n}{b^n}\) с одинаковыми показателями сначала делите основания: \(\dfrac{15^{6}}{3^{6} \cdot 5^{4}} = \dfrac{5^6}{5^4} = 25\). Ищите пару «одинаковые показатели» раньше, чем раскладываете всё на простые множители.
Типичная ошибка. Степень суммы не раскладывается по слагаемым: \((2 + 3)^2 = 25\), а \(2^2 + 3^2 = 13\). Правило \((ab)^n = a^n b^n\) — только для произведения.
На ЕГЭ. Задание 8 часто даёт \(\dfrac{a^{m} \cdot b^{k}}{c^{n}}\), где \(a\), \(b\), \(c\) — степени одного числа. Задание 7 с уравнением \(4^{x} = 8\) требует того же приёма: \(2^{2x} = 2^3\), \(x = 1{,}5\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward