Степень с рациональным показателем и корень
Корень — это степень с дробным показателем. Запись через показатель удобна, когда в выражении встречаются корни разных степеней: все свойства степеней продолжают работать.
Определение. Для \(a \gt 0\), натурального \(n\) и целого \(m\): \[a^{\dfrac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \qquad a^{\dfrac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m.\] Знаменатель показателя — степень корня, числитель — степень под корнем. Например, \(8^{\dfrac23} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4\), \(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a^{\dfrac12 + \dfrac13} = a^{\dfrac56}\).
Как это работает. Найдём значение выражения \(27^{\dfrac{4}{3}} \cdot 9^{-\dfrac{3}{2}}\).
- \(27^{\dfrac43} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^4 = 3^4 = 81\). Сначала корень, потом степень — числа остаются маленькими.
- \(9^{-\dfrac32} = \dfrac{1}{9^{\dfrac32}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt9\right)^3} = \dfrac{1}{27}\).
- Перемножаем: \(81 \cdot \dfrac{1}{27} = 3\). Ответ: 3.
Ещё пример. Упростите \(\dfrac{\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt[4]{a^3}}\) при \(a \gt 0\).
Решение. Переходим к показателям: \(a^{\dfrac14} \cdot a^{\dfrac12} : a^{\dfrac34} = a^{\dfrac14 + \dfrac12 - \dfrac34} = a^0 = 1\). Ответ: 1.
Лайфхак. Для вычисления \(a^{\dfrac{m}{n}}\) всегда извлекайте корень раньше, чем возводите в степень: \(32^{0{,}6} = 32^{\dfrac35} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^3 = 2^3 = 8\). Десятичный показатель сначала переводите в дробь: \(0{,}5 = \dfrac12\), \(1{,}5 = \dfrac32\), \(0{,}75 = \dfrac34\).
Типичная ошибка. Дробный показатель определён для положительного основания. Запись \((-8)^{\dfrac13}\) в школьном курсе не используют; пишут \(\sqrt[3]{-8} = -2\).
На ЕГЭ. Задание 8: выражения \(\dfrac{\sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[10]{a}}{\sqrt{a}}\) и числовые \(\left(2^{\dfrac13} \cdot 4^{\dfrac13}\right)^{3}\); для последнего \(2^{\dfrac13} \cdot 4^{\dfrac13} = 8^{\dfrac13} = 2\), ответ 8.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward