Выражения со степенями в задании 8
В задании 8 степени встречаются в трёх видах: числовые выражения, буквенные с заданным значением переменной и выражения с переменной в показателе. Приёмы одни и те же: привести к одному основанию или к одному показателю, затем применить свойства.
Приёмы. 1) Переменная в показателе: \(a^{x} b^{x} = (ab)^x\), \(\dfrac{a^{x + 1}}{a^{x - 1}} = a^2\), \(a^{2x} = \left(a^x\right)^2\). 2) Буквенное выражение: сначала упростить, потом подставить число. 3) Степень с показателем \(x\) можно вычислить, не зная \(x\): если \(5^x = 3\), то \(5^{2x + 1} = 5 \cdot \left(5^x\right)^2 = 45\).
Как это работает. Найдём значение выражения \(\dfrac{3^{x + 2} - 3^{x}}{3^{x - 1}}\).
- Выносим в числителе общий множитель \(3^x\): \(3^{x + 2} - 3^x = 3^x(9 - 1) = 8 \cdot 3^x\).
- Делим на знаменатель: \(\dfrac{8 \cdot 3^x}{3^{x - 1}} = 8 \cdot 3^{x - (x - 1)} = 8 \cdot 3 = 24\).
- Значение не зависит от \(x\) — так и должно быть, иначе задача не имела бы числового ответа. Ответ: 24.
Ещё пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{(2a)^{4} \cdot a^{-3}}{8a}\) при \(a = 5\).
Решение. \((2a)^4 = 16a^4\); числитель \(16a^4 \cdot a^{-3} = 16a\); делим: \(\dfrac{16a}{8a} = 2\). Значение не зависит от \(a\). Ответ: 2.
Лайфхак. Если в выражении есть \(a^{x}\) с разными добавками в показателе (\(x + 2\), \(x - 1\)), вынесите наименьшую степень за скобку. После этого остаются числа. Если же в ответе остаётся \(x\) — вы ошиблись: в задании 8 ответ числовой.
Типичная ошибка. \(3^{x + 2} \ne 3^x + 9\). Степень суммы показателей — это произведение: \(3^{x + 2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x\).
На ЕГЭ. Типовые формулировки задания 8: «Найдите значение выражения \(\dfrac{7^{x + 1}}{7^{x - 1}}\)», «\(\left(a^{\dfrac{2}{3}}\right)^{\dfrac{3}{4}} : a^{\dfrac12}\) при \(a = 16\)», «\(2^{3x} \cdot 4^{-x}\) при \(x = 7\)». Во всех трёх \(x\) в ответе исчезает.
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward