Углы: смежные, вертикальные, при параллельных прямых. Сумма углов треугольника
Планиметрия начинается с углов. Три факта об углах при пересечении прямых и один о треугольнике позволяют находить неизвестные углы в большинстве задач базового уровня.
Факты. Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\); вертикальные углы равны. При параллельных прямых и секущей: накрест лежащие углы равны, соответственные равны, односторонние в сумме дают \(180^\circ\). Сумма углов треугольника \(180^\circ\). Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Против большей стороны лежит больший угол. Угол между биссектрисами углов \(A\) и \(B\) равен \(90^\circ + \dfrac{\angle C}{2}\).
Как это работает. В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(40^\circ\), внешний угол при вершине \(B\) равен \(110^\circ\). Найдём угол \(C\).
- Внешний угол при \(B\) равен сумме внутренних углов \(A\) и \(C\): \(110^\circ = 40^\circ + \angle C\).
- \(\angle C = 70^\circ\).
- Проверка: \(\angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\); сумма \(40 + 70 + 70 = 180\). Ответ: \(70^\circ\).
Ещё пример. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(58^\circ\), биссектрисы углов \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(O\). Найдите угол \(AOB\).
Решение. \(\angle AOB = 90^\circ + \dfrac{58^\circ}{2} = 119^\circ\). Ответ: \(119^\circ\).
Лайфхак. Три «угловых» формулы задания 1 стоит помнить наизусть: биссектрисы — \(90^\circ + \dfrac{C}{2}\), высоты из \(A\) и \(B\) — угол между ними \(180^\circ - C\), биссектриса и высота из одной вершины — угол между ними равен половине разности двух других углов треугольника.
Типичная ошибка. Внешний угол считают равным \(180^\circ\) минус противолежащий угол. Внешний угол смежен с соседним внутренним углом: \(180^\circ - \angle B\), и равен сумме двух других.
На ЕГЭ. Задание 1 (планиметрия, базовый уровень): «Один из углов равнобедренного треугольника равен \(100^\circ\); найдите другой», «найдите угол между биссектрисами». Ответ в градусах, без знака градуса.
Закрепите теорию: 13 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward