Равнобедренный, равносторонний и прямоугольный треугольники

11 заданий

У «особых» треугольников есть дополнительные свойства, которые решают задачу за один шаг: равные углы при основании, совпадение медианы, биссектрисы и высоты, катет против угла в \(30^\circ\).

Свойства. Равнобедренный: углы при основании равны; медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. Равносторонний: все углы \(60^\circ\), высота \(h = \dfrac{a\sqrt3}{2}\), площадь \(\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\), \(R = \dfrac{a}{\sqrt3}\), \(r = \dfrac{a}{2\sqrt3}\). Прямоугольный: острые углы в сумме \(90^\circ\); катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы; медиана к гипотенузе равна её половине (и радиусу описанной окружности); высота из прямого угла образует с катетами углы, равные острым углам треугольника.

Как это работает. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CD\) — высота, угол \(A\) равен \(30^\circ\), \(AB = 12\). Найдём угол \(BCD\) и \(BC\).

В треугольнике \(ACD\) угол \(ACD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\), поэтому \(\angle BCD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\) — равен углу \(A\).
Катет \(BC\) лежит против угла \(A = 30^\circ\): \(BC = \dfrac{AB}{2} = 6\).
Ответ: \(30^\circ\); 6.

Ещё пример. Один из углов равнобедренного треугольника равен \(100^\circ\). Найдите углы при основании.
Решение. Угол \(100^\circ\) тупой, значит, он при вершине (углов при основании два, и они равны — оба не могут быть по \(100^\circ\)). Углы при основании: \(\dfrac{180^\circ - 100^\circ}{2} = 40^\circ\). Ответ: \(40^\circ\).

Лайфхак. В прямоугольном треугольнике с углом \(30^\circ\) стороны относятся как \(1 : \sqrt3 : 2\); с углом \(45^\circ\) — как \(1 : 1 : \sqrt2\). Увидев такой угол, сразу записывайте стороны через одну переменную.

Типичная ошибка. «Один из углов равнобедренного треугольника равен \(100^\circ\)» решают как «угол при основании \(100^\circ\)» — тогда сумма углов превысит \(180^\circ\). Тупой угол в равнобедренном треугольнике всегда при вершине.

На ЕГЭ. Задание 1: равнобедренные треугольники с заданным углом, прямоугольные с высотой из прямого угла. Задание 18 (планиметрия, 3 балла): свойства медианы к гипотенузе и равенство углов при высоте — стандартные шаги доказательства.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward