Медианы, биссектрисы, высоты, средняя линия

12 заданий

Четыре замечательные линии треугольника имеют собственные свойства, и каждое из них — готовый инструмент для задачи: медианы делятся точкой пересечения в отношении \(2 : 1\), биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам, средняя линия параллельна основанию и вдвое короче.

Линия	Свойство
Медиана	делит сторону пополам; три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении \(2 : 1\), считая от вершины; медиана делит треугольник на два равновеликих
Биссектриса	делит угол пополам; делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам: \(\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BC}\); биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности
Высота	перпендикуляр к стороне (или её продолжению); высоты пересекаются в ортоцентре; \(S = \dfrac12 ah_a\)
Средняя линия	соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; отсекает треугольник площади \(\dfrac14 S\)
Серединный перпендикуляр	точки его равноудалены от концов отрезка; серединные перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности

Как это работает. В треугольнике \(ABC\) биссектриса \(BL\) делит сторону \(AC\) на отрезки \(AL = 4\) и \(LC = 6\), \(AB = 6\). Найдём \(BC\).

Свойство биссектрисы: \(\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AL}{LC}\).
\(\dfrac{6}{BC} = \dfrac{4}{6} = \dfrac23\), откуда \(BC = 9\).
Проверка неравенства треугольника: \(6 + 9 \gt 10\). Ответ: 9.

Ещё пример. Медианы треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(M\); \(AM = 10\). Найдите длину медианы из вершины \(A\). Средняя линия треугольника равна 7; найдите параллельную ей сторону.
Решение. Точка пересечения делит медиану в отношении \(2 : 1\) от вершины: медиана \(10 \cdot \dfrac32 = 15\). Сторона вдвое длиннее средней линии: 14. Ответ: 15; 14.

Лайфхак. Длина медианы по сторонам: \(m_a^2 = \dfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}\); длина биссектрисы: \(l_a^2 = bc - a_1 a_2\), где \(a_1\), \(a_2\) — отрезки, на которые она делит сторону. Эти две формулы экономят страницу вычислений в задании 18.

Типичная ошибка. Думают, что биссектриса делит противоположную сторону пополам. Пополам делит медиана; биссектриса — пропорционально прилежащим сторонам, и только в равнобедренном треугольнике (к основанию) они совпадают.

На ЕГЭ. Задание 1: отрезки, на которые биссектриса делит сторону; медиана и отношение \(2 : 1\). Задание 18: доказательства с медианами и биссектрисами, центр масс и площади частей треугольника.

Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward