Теорема Пифагора и тригонометрия прямоугольного треугольника

12 заданий

Прямоугольный треугольник задаётся двумя элементами. Если известны две стороны, третью даёт теорема Пифагора; если сторона и угол — тригонометрические отношения. Эти два инструмента — основа всех вычислений в геометрии.

Формулы (катеты \(a\), \(b\), гипотенуза \(c\), угол \(\alpha\) против катета \(a\)): \[c^2 = a^2 + b^2; \qquad \sin\alpha = \dfrac{a}{c}, \quad \cos\alpha = \dfrac{b}{c}, \quad \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{a}{b}.\] Пифагоровы тройки: \(3, 4, 5\); \(5, 12, 13\); \(8, 15, 17\); \(7, 24, 25\) и кратные им. Высота из прямого угла: \(h^2 = a_c b_c\) (произведение проекций катетов), \(a^2 = c \cdot a_c\), \(h = \dfrac{ab}{c}\).

Как это работает. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(AC = 8\), \(BC = 6\). Найдём \(AB\), \(\sin A\), \(\operatorname{tg} B\) и высоту \(CH\).

\(AB = \sqrt{64 + 36} = 10\) (тройка \(6, 8, 10\)).
\(\sin A = \dfrac{BC}{AB} = 0{,}6\) (противолежащий катет к гипотенузе); \(\operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{6} = \dfrac43\).
Высота: \(CH = \dfrac{AC \cdot BC}{AB} = \dfrac{48}{10} = 4{,}8\). Ответ: 10; 0,6; \(\dfrac43\); 4,8.

Ещё пример. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20, \(\cos\alpha = 0{,}6\) для одного из острых углов. Найдите катеты.
Решение. Прилежащий катет \(20 \cdot 0{,}6 = 12\); \(\sin\alpha = 0{,}8\), противолежащий катет \(20 \cdot 0{,}8 = 16\). Проверка: \(144 + 256 = 400\). Ответ: 12 и 16.

Лайфхак. Увидев два числа из пифагоровой тройки, третье пишите сразу: \(15\) и \(17\) дают \(8\); \(10\) и \(26\) — это удвоенные \(5\) и \(13\), третья сторона \(24\). Тригонометрия: синус угла равен косинусу другого острого угла того же треугольника.

Типичная ошибка. Применяют теорему Пифагора к непрямоугольному треугольнику или берут синус как отношение «катет к катету». Синус и косинус — всегда к гипотенузе, тангенс — катет к катету.

На ЕГЭ. Задание 1: «В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(\sin A = \dfrac{7}{25}\), \(AB = 50\); найдите \(BC\)» — ответ 14. Задание 3 (стереометрия) сводится к прямоугольным треугольникам внутри тел.

Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward