Площадь треугольника

11 заданий

Площадь треугольника можно найти пятью способами в зависимости от того, что известно: сторона и высота, две стороны и угол, три стороны, периметр и радиус вписанной окружности, стороны и радиус описанной. Выбор формулы — главный навык этого урока.

Формулы. \[S = \dfrac12 a h_a = \dfrac12 ab\sin\gamma = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = pr = \dfrac{abc}{4R},\] где \(p = \dfrac{a + b + c}{2}\). Прямоугольный треугольник: \(S = \dfrac12 ab\) (половина произведения катетов). Треугольники с общей высотой относятся по основаниям; с общим углом — как произведения сторон, образующих угол. Медиана делит площадь пополам.

Как это работает. Найдём площадь треугольника со сторонами 13, 14, 15 и радиус его вписанной окружности.

Полупериметр \(p = 21\). Герон: \(S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\).
Радиус вписанной окружности из \(S = pr\): \(r = \dfrac{84}{21} = 4\).
Проверка через высоту к стороне 14: \(h = \dfrac{2S}{14} = 12\) — классический треугольник 13-14-15 с высотой 12 (разбивается на тройки 5-12-13 и 9-12-15). Ответ: 84; 4.

Ещё пример. Две стороны треугольника равны 6 и 10, угол между ними \(150^\circ\). Найдите площадь.
Решение. \(S = \dfrac12 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 150^\circ = 30 \cdot \dfrac12 = 15\). Ответ: 15.

Лайфхак. Выбирайте формулу по данным: «высота» — первая; «угол между сторонами» — вторая; «три стороны» — Герон; «вписанная окружность» — \(pr\); «описанная» — \(\dfrac{abc}{4R}\). Часто площадь находят одним способом, чтобы потом из другой формулы извлечь радиус или высоту.

Типичная ошибка. В формуле \(\dfrac12 ab\sin\gamma\) берут угол не между данными сторонами, а любой. Угол должен быть образован именно сторонами \(a\) и \(b\).

На ЕГЭ. Задание 1: площадь по стороне и высоте, по двум сторонам и углу, площадь на клетчатой бумаге. Задание 18: отношение площадей частей треугольника — через общую высоту или общий угол.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward