Показательное уравнение с одним основанием
Показательным называют уравнение, в котором неизвестное стоит в показателе степени. Основной факт: показательная функция \(y = a^x\) при \(a \gt 0\), \(a \ne 1\) монотонна, поэтому каждое своё значение принимает ровно один раз. Значит, равны степени с одним основанием — равны показатели.
Правило. При \(a \gt 0\), \(a \ne 1\): \[a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x).\] Показательная функция принимает только положительные значения: уравнение \(a^{f(x)} = c\) при \(c \le 0\) корней не имеет (\(2^x = -8\), \(5^x = 0\)).
Как это работает. Решим уравнение \(2^{3x - 4} = 2^{x + 6}\).
- Основания одинаковые — 2. Приравниваем показатели: \(3x - 4 = x + 6\).
- Решаем линейное уравнение: \(2x = 10\), \(x = 5\).
- Проверка: \(2^{11} = 2^{11}\). Ответ: 5.
Ещё пример. Решите уравнение \(3^{x^2 - 5x} = 3^{-6}\).
Решение. \(x^2 - 5x = -6\), \(x^2 - 5x + 6 = 0\), \(x = 2\) или \(x = 3\). Ответ: 2; 3.
Лайфхак. Правую часть — число — записывайте как степень того же основания: \(8 = 2^3\), \(\dfrac{1}{27} = 3^{-3}\), \(1 = a^0\). Уравнение \(5^{x - 3} = 1\) означает \(x - 3 = 0\).
Типичная ошибка. «Сокращают» основания и приравнивают показатели в уравнении с разными основаниями: \(2^{x} = 3^{x}\) не даёт \(x = x\). Приравнивать показатели можно только при одинаковых основаниях.
На ЕГЭ. Задание 7: «Найдите корень уравнения \(2^{4 - 2x} = 64\)» — \(64 = 2^6\), \(4 - 2x = 6\), \(x = -1\). Это задание решается за одну минуту, если степени двойки, тройки и пятёрки узнаются мгновенно.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward