Приведение к одному основанию
Чаще всего основания в уравнении разные только на вид: \(4\) и \(8\) — степени двойки, \(0{,}2\) и \(25\) — степени пятёрки. Задача — переписать обе части через одно основание, после чего работает правило предыдущего урока.
Что помнить. \(0{,}5 = 2^{-1}\), \(0{,}25 = 2^{-2}\), \(0{,}125 = 2^{-3}\), \(0{,}2 = 5^{-1}\), \(0{,}04 = 5^{-2}\), \(\dfrac19 = 3^{-2}\), \(\dfrac{1}{27} = 3^{-3}\), \(\sqrt2 = 2^{\dfrac12}\), \(\sqrt[3]{5} = 5^{\dfrac13}\), \(\dfrac{1}{\sqrt3} = 3^{-\dfrac12}\), \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-x}\). После замены основания показатели перемножаются: \(\left(a^m\right)^{f(x)} = a^{m f(x)}\).
Как это работает. Решим уравнение \(\left(\dfrac15\right)^{x - 2} = 125\).
- Переписываем через основание 5: \(\left(\dfrac15\right)^{x - 2} = 5^{-(x - 2)} = 5^{2 - x}\), а \(125 = 5^3\).
- Приравниваем показатели: \(2 - x = 3\), \(x = -1\).
- Проверка: \(\left(\dfrac15\right)^{-3} = 125\). Ответ: \(-1\).
Ещё пример. Решите уравнение \(0{,}5^{x^2 - 3x} = 4\).
Решение. \(0{,}5 = 2^{-1}\), \(4 = 2^2\): \(2^{3x - x^2} = 2^2\), \(x^2 - 3x + 2 = 0\), \(x = 1\) или \(x = 2\). Ответ: 1; 2.
Лайфхак. Если основание меньше 1, переверните его сразу и смените знак показателя: \(\left(\dfrac13\right)^{f(x)} = 3^{-f(x)}\). Отрицательные степени в уравнении — нормально; минус перед всем показателем — надёжнее, чем минус «внутри».
Типичная ошибка. При возведении степени в степень показатели складывают: \(\left(2^{2}\right)^{x} = 2^{2 + x}\). Верно \(2^{2x}\): показатели перемножаются.
На ЕГЭ. Задание 7: «\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x - 8} = 81\)» (ответ 4), «\(0{,}2^{x + 1} = 25\)» (ответ \(-3\)), «\(4^{x} = \dfrac{1}{8}\)» (ответ \(-1{,}5\)). Основания 4 и 8 приводят к 2, дробные степени в ответе возможны.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward