Вынесение общего множителя
Если в уравнении несколько степеней с одним основанием и показателями вида \(x + 1\), \(x - 2\), \(x\), приравнять показатели нельзя — степени складываются. Выручает вынесение наименьшей степени за скобку: в скобке остаётся число.
Правило. \[a^{x + m} = a^x \cdot a^m, \qquad a^{x + m} \pm a^{x + n} = a^x\left(a^m \pm a^n\right).\] После вынесения уравнение принимает вид \(a^x \cdot C = N\), откуда \(a^x = \dfrac{N}{C}\) и далее приравнивание показателей.
Как это работает. Решим уравнение \(3^{x + 2} + 3^x = 90\).
- Записываем \(3^{x + 2} = 3^x \cdot 9\). Уравнение: \(9 \cdot 3^x + 3^x = 90\).
- Выносим \(3^x\): \(3^x(9 + 1) = 90\), \(3^x = 9\).
- \(3^x = 3^2\), \(x = 2\). Проверка: \(81 + 9 = 90\). Ответ: 2.
Ещё пример. Решите уравнение \(2^{x} + 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 56\).
Решение. \(2^x(1 + 2 + 4) = 56\), \(2^x = 8\), \(x = 3\). Ответ: 3.
Лайфхак. Выносите степень с наименьшим показателем — тогда в скобке будут целые числа, а не дроби. Если показатели \(x - 1\) и \(x + 1\), вынесите \(2^{x - 1}\): \(2^{x - 1}(1 + 4)\).
Типичная ошибка. \(3^{x + 2} + 3^x = 3^{2x + 2}\) — складывают показатели при сложении степеней. Показатели складываются при умножении степеней, а сумма степеней не упрощается иначе как вынесением множителя.
На ЕГЭ. Задание 7 изредка и задание 14 регулярно: \(4^x - 3 \cdot 2^{x + 1} + 8 = 0\) — здесь \(2^{x + 1} = 2 \cdot 2^x\), и после замены \(t = 2^x\) получается \(t^2 - 6t + 8 = 0\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward