Замена t = aˣ
Если в уравнении есть \(a^{2x}\) (или \(\left(a^2\right)^x\)) и \(a^x\), это квадратное уравнение относительно \(a^x\). Делают замену и решают квадратное уравнение, помня, что показательная функция положительна.
Правило. Замена \(t = a^x\), обязательно \(t \gt 0\). Узнавать квадраты: \(4^x = \left(2^x\right)^2\), \(9^x = \left(3^x\right)^2\), \(25^x = \left(5^x\right)^2\), \(a^{2x} = \left(a^x\right)^2\). Отрицательные корни \(t\) отбрасывают с объяснением; каждый положительный \(t\) даёт один корень \(x = \log_a t\).
Как это работает. Решим уравнение \(4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0\).
- \(4^x = \left(2^x\right)^2\). Замена \(t = 2^x\), \(t \gt 0\): \(t^2 - 5t + 4 = 0\).
- По теореме Виета \(t = 1\) или \(t = 4\); оба положительны.
- \(2^x = 1\) даёт \(x = 0\); \(2^x = 4\) даёт \(x = 2\). Ответ: 0; 2.
Ещё пример. Решите уравнение \(9^x - 4 \cdot 3^x - 45 = 0\).
Решение. \(t = 3^x \gt 0\): \(t^2 - 4t - 45 = 0\), \(t = 9\) или \(t = -5\). Второй корень не подходит. \(3^x = 9\), \(x = 2\). Ответ: 2.
Лайфхак. Если корень \(t\) не является степенью основания (\(2^x = 10\)), ответ записывают через логарифм: \(x = \log_2 10\). В задании 14 такой корень затем отбирают сравнением степеней: \(2^3 \lt 10 \lt 2^4\), значит, \(3 \lt \log_2 10 \lt 4\).
Типичная ошибка. Записывают в ответ \(t\) вместо \(x\) или не отбрасывают \(t = -5\), получая «\(3^x = -5\)». Отрицательных значений у показательной функции нет.
На ЕГЭ. Задание 14 (пример): а) \(4^x - 14 \cdot 2^x + 40 = 0\) — корни \(x = 2\) и \(x = \log_2 10\); б) на отрезке \([3; 5]\) лежит только \(\log_2 10\). Задание 19 с параметром: \(4^x - (a + 1)2^x + a = 0\) — число корней зависит от знаков корней \(t\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward