Разные основания: деление и логарифмирование
Если основания не приводятся к одному (2 и 3, 5 и 7), работают два приёма. Когда показатели одинаковы, делят на одну из степеней — получается степень дроби. Когда показатели разные, обе части логарифмируют.
Приёмы. 1) Одинаковые показатели: \[a^{f(x)} = b^{f(x)} \iff \left(\dfrac{a}{b}\right)^{f(x)} = 1 \iff f(x) = 0.\] 2) Разные показатели: логарифмирование по удобному основанию: \(a^{f(x)} = b^{g(x)} \Rightarrow f(x)\ln a = g(x)\ln b\) — линейное уравнение относительно \(x\), если \(f\) и \(g\) линейны. 3) Общее: \(a^{f(x)} = c \iff f(x) = \log_a c\) при \(c \gt 0\).
Как это работает. Решим два уравнения: \(2^{x} = 3^{x}\) и \(2^{x} \cdot 3^{x} = 36\).
- \(2^x = 3^x\): делим на \(3^x \gt 0\): \(\left(\dfrac23\right)^x = 1\), откуда \(x = 0\).
- \(2^x \cdot 3^x = (2 \cdot 3)^x = 6^x = 36 = 6^2\), откуда \(x = 2\).
- Ответ: 0 и 2 соответственно.
Ещё пример. Решите уравнение \(5^{x} = 7^{x - 1}\).
Решение. Логарифмируем по основанию 7: \(x\log_7 5 = x - 1\), \(x(1 - \log_7 5) = 1\), \(x = \dfrac{1}{1 - \log_7 5} = \dfrac{1}{\log_7 \dfrac75} = \log_{\dfrac75} 7\). Ответ: \(\log_{\dfrac75} 7\).
Лайфхак. Произведение степеней с одинаковым показателем объединяйте: \(2^x \cdot 3^x = 6^x\), \(\dfrac{10^x}{2^x} = 5^x\). Если показатели отличаются на константу, сначала вынесите её: \(7^{x - 1} = \dfrac{7^x}{7}\), тогда \(5^x = \dfrac{7^x}{7}\), \(\left(\dfrac57\right)^x = \dfrac17\), \(x = \log_{\dfrac57}\dfrac17\).
Типичная ошибка. Из \(2^x = 3^x\) делают вывод «корней нет, так как основания разные». Корень есть: \(x = 0\), любая степень с нулевым показателем равна 1.
На ЕГЭ. Логарифмирование нужно в заданиях 14 и 19, а в части 1 — реже: там подбирают основания так, чтобы они приводились к одному. Ответ вида \(\log_{\dfrac75} 7\) в задании 14 допустим и не упрощается.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward