Простейшее логарифмическое уравнение
Простейшее логарифмическое уравнение решают по определению логарифма: логарифм — это показатель степени. Условие \(f(x) \gt 0\) выполняется автоматически, потому что степень положительного основания положительна.
Правило. При \(a \gt 0\), \(a \ne 1\): \[\log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b.\] Отдельная проверка ОДЗ не нужна: \(a^b \gt 0\). Если основание тоже содержит \(x\), добавляются условия \(a(x) \gt 0\), \(a(x) \ne 1\) (урок о переменном основании).
Как это работает. Решим уравнение \(\log_5(4 + x) = 2\).
- По определению: \(4 + x = 5^2 = 25\).
- \(x = 21\).
- Проверка: \(\log_5 25 = 2\). Ответ: 21.
Ещё пример. Решите уравнение \(\log_{\dfrac12}(3x - 1) = -3\).
Решение. \(3x - 1 = \left(\dfrac12\right)^{-3} = 8\), \(3x = 9\), \(x = 3\). Ответ: 3.
Лайфхак. Если перед логарифмом стоит коэффициент или число в другой части, сначала приведите уравнение к виду «логарифм равен числу»: \(2\log_3(x + 1) = 4 \Rightarrow \log_3(x + 1) = 2\). Число \(b\) справа может быть любым, в том числе отрицательным или нулём: \(\log_a f = 0 \iff f = 1\).
Типичная ошибка. Путают, что возводить: из \(\log_5(4 + x) = 2\) получают \(4 + x = 2^5\). Основание логарифма возводят в степень, равную правой части.
На ЕГЭ. Задание 7: «Найдите корень уравнения \(\log_2(15 + x) = \log_2 3\)» — здесь уже равенство логарифмов (следующий урок), а «\(\log_8 2^{8x - 4} = 4\)» — сначала вынести показатель: \((8x - 4)\log_8 2 = 4\), \(\dfrac{8x - 4}{3} = 4\), \(x = 2\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward