Равенство логарифмов с одним основанием и ОДЗ
Логарифмическая функция монотонна: равны логарифмы с одним основанием — равны их аргументы. Но логарифм определён только для положительных чисел, поэтому к равенству аргументов добавляют условие положительности одного из них.
Правило. \[\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) \gt 0 \end{cases}\] (вместо \(g \gt 0\) можно взять \(f \gt 0\) — что проще; второе условие следует из первого). Корни, при которых аргумент не положителен, — посторонние.
Как это работает. Решим уравнение \(\log_3(x^2 - 5x + 9) = \log_3(x + 1)\).
- Приравниваем аргументы: \(x^2 - 5x + 9 = x + 1\), \(x^2 - 6x + 8 = 0\), \(x = 2\) или \(x = 4\).
- Проверяем условие \(x + 1 \gt 0\): \(3 \gt 0\) и \(5 \gt 0\) — оба корня подходят.
- Ответ: 2; 4.
Ещё пример. Решите уравнение \(\log_2(x^2 - 3x) = \log_2(x - 3)\).
Решение. \(x^2 - 3x = x - 3\), \(x^2 - 4x + 3 = 0\), \(x = 1\) или \(x = 3\). Условие \(x - 3 \gt 0\): при \(x = 1\) получаем \(-2\), при \(x = 3\) получаем \(0\). Ни один не подходит. Ответ: корней нет.
Лайфхак. Проверяйте то из условий, которое линейно: его проще подставить. Если оба аргумента квадратные, подставьте найденные корни в любой из них. ОДЗ «целиком» (система двух неравенств) решать не нужно — достаточно проверки найденных корней.
Типичная ошибка. Записывают оба корня квадратного уравнения, не проверяя положительность аргументов. Логарифм нуля и отрицательного числа не существует: такие «корни» посторонние.
На ЕГЭ. Задание 7: «\(\log_5(7 - x) = \log_5(3 - x) + 1\)» — единицу записывают как \(\log_5 5\): \(\log_5(7 - x) = \log_5(5(3 - x))\), \(7 - x = 15 - 5x\), \(x = 2\); проверка \(3 - 2 \gt 0\). Ответ 2.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward