Сумма и разность логарифмов в уравнении
Когда в уравнении несколько логарифмов, их сворачивают в один по формулам произведения и частного. Но эти формулы расширяют область определения: \(\log_a(fg)\) существует и при \(f \lt 0\), \(g \lt 0\). Поэтому ОДЗ исходного уравнения записывают до преобразований.
Алгоритм. 1) ОДЗ: каждый аргумент логарифма положителен (система неравенств). 2) Свернуть сумму в логарифм произведения, разность — в логарифм частного; число \(b\) записать как \(\log_a a^b\). 3) Приравнять аргументы и решить. 4) Отобрать корни по ОДЗ из шага 1.
Как это работает. Решим уравнение \(\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3\).
- ОДЗ: \(x \gt 0\) и \(x - 2 \gt 0\), то есть \(x \gt 2\).
- Сворачиваем: \(\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3\), откуда \(x(x - 2) = 8\), \(x^2 - 2x - 8 = 0\), \(x = 4\) или \(x = -2\).
- ОДЗ \(x \gt 2\) удовлетворяет только \(x = 4\). Ответ: 4.
Ещё пример. Решите уравнение \(\log_3(x + 2) - \log_3 x = 1\).
Решение. ОДЗ: \(x \gt 0\). \(\log_3\dfrac{x + 2}{x} = 1\), \(\dfrac{x + 2}{x} = 3\), \(x + 2 = 3x\), \(x = 1\). Входит в ОДЗ. Ответ: 1.
Лайфхак. ОДЗ в таких уравнениях почти всегда сводится к одному неравенству — самому сильному из системы (\(x \gt 2\) сильнее, чем \(x \gt 0\)). Решите систему до конца и запишите итоговый промежуток: тогда отбор корней — одна строка.
Типичная ошибка. Сначала сворачивают, потом ищут ОДЗ по свёрнутому уравнению: для \(\log_2(x(x - 2)) = 3\) условие \(x(x - 2) \gt 0\) допускает \(x = -2\), и посторонний корень попадает в ответ.
На ЕГЭ. Задание 14 с логарифмами: а) \(\log_2(x + 3) + \log_2(x - 3) = 4\) — ОДЗ \(x \gt 3\), \(x^2 - 9 = 16\), \(x = 5\). Задание 7: \(\log_4(x + 3) = \log_4(4x - 15)\) и подобные.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward