Замена логарифма и переменное основание
Если логарифм входит в уравнение в квадрате и в первой степени, замена превращает его в квадратное уравнение. Если неизвестное стоит в основании логарифма, добавляются два условия: основание положительно и не равно 1.
Правила. 1) Замена \(t = \log_a x\) — без ограничений на \(t\) (логарифм принимает любые значения), но ОДЗ \(x \gt 0\). Запись \(\log_a^2 x\) означает \((\log_a x)^2\). 2) \(\log_{h(x)} f(x) = b \iff f(x) = h(x)^b\) при условиях \(h(x) \gt 0\), \(h(x) \ne 1\), \(f(x) \gt 0\). 3) Полезно: \(\log_x a = \dfrac{1}{\log_a x}\) при \(x \gt 0\), \(x \ne 1\).
Как это работает. Решим уравнение \(\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 = 0\).
- ОДЗ: \(x \gt 0\). Замена \(t = \log_2 x\): \(t^2 - 3t + 2 = 0\), \(t = 1\) или \(t = 2\).
- Возвращаемся: \(\log_2 x = 1\) даёт \(x = 2\); \(\log_2 x = 2\) даёт \(x = 4\).
- Оба корня положительны. Ответ: 2; 4.
Ещё пример. Решите уравнение \(\log_x(x + 6) = 2\).
Решение. Условия: \(x \gt 0\), \(x \ne 1\), \(x + 6 \gt 0\). По определению \(x + 6 = x^2\), \(x^2 - x - 6 = 0\), \(x = 3\) или \(x = -2\). Корень \(-2\) не удовлетворяет условию \(x \gt 0\). Ответ: 3.
Лайфхак. Уравнение \(\log_x 4 + \log_4 x = 2\) решают заменой \(t = \log_4 x\): тогда \(\log_x 4 = \dfrac1t\), и \(\dfrac1t + t = 2\), \(t^2 - 2t + 1 = 0\), \(t = 1\), \(x = 4\). «Перевёрнутый» логарифм — сигнал к такой замене.
Типичная ошибка. Забывают условие \(x \ne 1\) для основания: \(\log_1 b\) не определён ни при каком \(b\). Если один из корней равен 1, его отбрасывают.
На ЕГЭ. Задание 14: а) \(\log_3^2 x - 2\log_3 x - 3 = 0\) — корни \(x = 27\) и \(x = \dfrac13\); б) отбор на отрезке \([1; 10]\): \(\dfrac13 \lt 1\), \(27 \gt 10\) — корней на отрезке нет; это допустимый ответ пункта б).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward