Основное тождество и смешанные уравнения
В смешанных уравнениях показательная и логарифмическая части стоят рядом: логарифм в показателе степени или показательная функция под логарифмом. Их разбирают «снаружи внутрь», снимая по одной функции за шаг, и опираются на основное логарифмическое тождество.
Формулы. \[a^{\log_a b} = b \;(b \gt 0), \qquad a^{k\log_a b} = b^k, \qquad \log_a a^{f(x)} = f(x).\] Если основания степени и логарифма разные, их сначала уравнивают: \(4^{\log_2 7} = 2^{2\log_2 7} = 7^2 = 49\). Логарифм от показательной функции: \(\log_4(2^x + 12) = x - 1 \Rightarrow 2^x + 12 = 4^{x - 1}\), далее замена \(t = 2^x\).
Как это работает. Решим уравнение \(4^{\log_2(x + 1)} = 9\).
- ОДЗ: \(x + 1 \gt 0\), \(x \gt -1\).
- Уравниваем основания: \(4^{\log_2(x + 1)} = 2^{2\log_2(x + 1)} = (x + 1)^2\). Уравнение: \((x + 1)^2 = 9\), \(x + 1 = \pm 3\), \(x = 2\) или \(x = -4\).
- По ОДЗ остаётся \(x = 2\). Проверка: \(4^{\log_2 3} = 3^2 = 9\). Ответ: 2.
Ещё пример. Решите уравнение \(\log_4(2^x + 12) = x - 1\).
Решение. По определению \(2^x + 12 = 4^{x - 1} = \dfrac{4^x}{4}\). Умножаем на 4 и делаем замену \(t = 2^x \gt 0\): \(4t + 48 = t^2\), \(t^2 - 4t - 48 = 0\), \(t = 8\) (корень \(-6\) не подходит). \(2^x = 8\), \(x = 3\). Ответ: 3.
Лайфхак. Снимайте по одной внешней функции за шаг: логарифм снаружи — потенцируйте (перейдите к степени основания); степень снаружи с логарифмом внутри — применяйте тождество; затем — замена. Один приём за строку — меньше ошибок.
Типичная ошибка. Применяют тождество при разных основаниях: \(4^{\log_2 7} \ne 7\). Тождество \(a^{\log_a b} = b\) требует одного и того же основания у степени и логарифма.
На ЕГЭ. Задание 8: «\(5^{\log_{25} 49}\)» — \(25 = 5^2\), \(\log_{25} 49 = \dfrac12\log_5 49 = \log_5 7\), ответ 7. Задание 14 и 19: уравнения вида \(x^{\log_2 x} = 8x\) решают логарифмированием по основанию 2 с последующей заменой \(t = \log_2 x\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward