Задание 14: отбор корней показательных и логарифмических уравнений
В задании 14 вместо тригонометрического может стоять показательное или логарифмическое уравнение. Пункт а) решают приёмами этой темы, а в пункте б) корни вида \(\log_a t\) сравнивают с концами отрезка через степени основания, без калькулятора.
Правило сравнения. При \(a \gt 1\): \[p \le \log_a t \le q \iff a^p \le t \le a^q.\] При \(0 \lt a \lt 1\) неравенства меняют направление. Чтобы сравнить \(\log_a t\) с числом \(\dfrac{m}{n}\), сравнивают \(t^n\) и \(a^m\). Корни и дробные степени сравнивают возведением в квадрат: \(3^{1{,}5} = \sqrt{27} \gt 5\), так как \(27 \gt 25\).
Как это работает. а) Решим уравнение \(4^x - 14 \cdot 2^x + 40 = 0\). б) Найдём корни на отрезке \([3; 5]\).
- а) Замена \(t = 2^x \gt 0\): \(t^2 - 14t + 40 = 0\), \(t = 4\) или \(t = 10\). Корни: \(x = 2\) и \(x = \log_2 10\).
- б) \(2 \notin [3; 5]\). Для \(\log_2 10\): \(2^3 = 8 \lt 10 \lt 16 = 2^4\), значит, \(3 \lt \log_2 10 \lt 4\), корень лежит на отрезке.
- Ответ: а) 2; \(\log_2 10\); б) \(\log_2 10\).
Ещё пример. Принадлежит ли число \(\log_3 5\) отрезку \([1{,}5; 2]\)?
Решение. Сравним \(\log_3 5\) с \(1{,}5\): \(3^{1{,}5} = \sqrt{27}\), и \(\sqrt{27} \gt \sqrt{25} = 5\). Значит, \(3^{1{,}5} \gt 5\), то есть \(\log_3 5 \lt 1{,}5\). Число отрезку не принадлежит. Ответ: нет.
Лайфхак. Для отбора логарифмического корня составьте «лестницу степеней» основания: \(2^3 = 8\), \(2^{3{,}5} = \sqrt{128} \approx 11{,}3\), \(2^4 = 16\). Число под логарифмом ставят на эту лестницу — и его логарифм зажат между соседними ступенями.
Типичная ошибка. Отбирают корни «по калькулятору»: \(\log_2 10 \approx 3{,}32\). Приближённое значение без обоснования эксперт не засчитывает. Нужно сравнение степеней, записанное явно.
На ЕГЭ. Задание 14 стоит 2 балла: обоснованное решение пункта а) и обоснованный отбор в пункте б). Логарифмические уравнения в этой роли встречаются не реже тригонометрических — готовить нужно оба варианта.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward