Уравнение sin x = a
Тригонометрическое уравнение имеет бесконечно много решений: функции периодичны. Поэтому ответ записывают сериями — формулами с целым параметром \(k\). Начнём с уравнения \(\sin x = a\): на единичной окружности это точки с ординатой \(a\).
Формулы. При \(|a| \le 1\): \[\sin x = a \iff x = (-1)^k \arcsin a + \pi k, \; k \in \mathbb Z,\] или в виде двух серий: \(x = \arcsin a + 2\pi k\) и \(x = \pi - \arcsin a + 2\pi k\). При \(|a| \gt 1\) решений нет. Частные случаи: \(\sin x = 0 \iff x = \pi k\); \(\sin x = 1 \iff x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\); \(\sin x = -1 \iff x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\).
Как это работает. Решим уравнение \(\sin x = \dfrac12\).
- На окружности ордината \(\dfrac12\) у двух точек: с углами \(\dfrac{\pi}{6}\) и \(\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\).
- Каждая точка повторяется через полный оборот: \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\) и \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\).
- Короткая запись: \(x = (-1)^k \dfrac{\pi}{6} + \pi k\). При \(k = 0\) получаем \(\dfrac{\pi}{6}\), при \(k = 1\) — \(-\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6}\). Ответ: \((-1)^k\dfrac{\pi}{6} + \pi k\), \(k \in \mathbb Z\).
Ещё пример. Решите уравнение \(2\sin x + \sqrt3 = 0\).
Решение. \(\sin x = -\dfrac{\sqrt3}{2}\); \(\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{3}\). Серии: \(x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\) и \(x = \pi + \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k\). Ответ: \(x = (-1)^{k + 1}\dfrac{\pi}{3} + \pi k\), \(k \in \mathbb Z\).
Лайфхак. В задании 14 удобнее две серии через \(2\pi k\): их проще отмечать на окружности при отборе. Запись с \((-1)^k\) короче, но при отборе корней в ней легко ошибиться со знаком.
Типичная ошибка. Пишут только одну серию \(x = \arcsin a + 2\pi k\). У синуса две точки на окружности с одной ординатой — симметричные относительно оси \(Oy\). Вторая серия теряется чаще всего.
На ЕГЭ. Пункт а) задания 14 оценивается, только если записаны все серии корней. Частные случаи (\(\sin x = 0, \pm 1\)) записывают одной серией; две серии вида \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\) и \(-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\) для \(\sin x = \pm 1\) не нужны — у каждого уравнения одна точка.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward