Уравнение cos x = a
Для косинуса ищут точки окружности с абсциссой \(a\). Их две, и они симметричны относительно горизонтальной оси, поэтому серии записывают со знаком \(\pm\).
Формулы. При \(|a| \le 1\): \[\cos x = a \iff x = \pm\arccos a + 2\pi k, \; k \in \mathbb Z.\] При \(|a| \gt 1\) решений нет. Частные случаи: \(\cos x = 0 \iff x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\); \(\cos x = 1 \iff x = 2\pi k\); \(\cos x = -1 \iff x = \pi + 2\pi k\).
Как это работает. Решим уравнение \(\cos x = -\dfrac{\sqrt2}{2}\).
- Находим арккосинус: \(\arccos\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right) = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}\).
- Две точки с абсциссой \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\): углы \(\dfrac{3\pi}{4}\) и \(-\dfrac{3\pi}{4}\).
- Ответ: \(x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb Z\).
Ещё пример. Решите уравнение \(2\cos x - 1 = 0\) и найдите его наименьший положительный корень.
Решение. \(\cos x = \dfrac12\), \(x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\). Наименьший положительный корень — \(\dfrac{\pi}{3}\) (в градусах \(60^\circ\)). Ответ: \(\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\); наименьший положительный \(\dfrac{\pi}{3}\).
Лайфхак. У косинуса серия всегда одна, со знаком \(\pm\) и периодом \(2\pi\) — ошибиться труднее, чем с синусом. Отрицательное \(a\) даёт тупой арккосинус: не забывайте вычитать из \(\pi\).
Типичная ошибка. \(\cos x = 0\) записывают как \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\). Абсцисса 0 у двух точек — верхней и нижней, — поэтому период серии \(\pi\): \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\).
На ЕГЭ. Уравнения \(\cos x = a\) — ядро задания 14; типичный пункт а): \(2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0\) даёт \(\cos x = 1\) и \(\cos x = -\dfrac12\), то есть две серии разных типов.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward