Уравнения tg x = a и ctg x = a

11 заданий

Тангенс принимает любое значение и имеет период \(\pi\), поэтому уравнение \(\operatorname{tg} x = a\) разрешимо при любом \(a\) и даёт одну серию с периодом \(\pi\). Так же устроен котангенс.

Формулы. \[\operatorname{tg} x = a \iff x = \operatorname{arctg} a + \pi k; \qquad \operatorname{ctg} x = a \iff x = \operatorname{arcctg} a + \pi k, \; k \in \mathbb Z.\] Табличные значения: \(\operatorname{tg} x = 1 \iff x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k\); \(\operatorname{tg} x = \sqrt3 \iff x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k\); \(\operatorname{tg} x = \dfrac{\sqrt3}{3} \iff x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k\); \(\operatorname{tg} x = 0 \iff x = \pi k\). Область определения тангенса \(x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), котангенса \(x \ne \pi k\).

Как это работает. Решим уравнение \(\sqrt3\operatorname{tg} x + 1 = 0\).

\(\operatorname{tg} x = -\dfrac{1}{\sqrt3} = -\dfrac{\sqrt3}{3}\).
\(\operatorname{arctg}\left(-\dfrac{\sqrt3}{3}\right) = -\operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt3}{3} = -\dfrac{\pi}{6}\).
Ответ: \(x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi k\), \(k \in \mathbb Z\).

Ещё пример. Сколько корней уравнения \(\operatorname{tg} x = 1\) лежит на отрезке \([0; 2\pi]\)?
Решение. Корни \(\dfrac{\pi}{4} + \pi k\): при \(k = 0\) и \(k = 1\) получаем \(\dfrac{\pi}{4}\) и \(\dfrac{5\pi}{4}\), при \(k = 2\) — \(\dfrac{9\pi}{4} \gt 2\pi\). Ответ: 2.

Лайфхак. Если уравнение содержит и синус, и косинус в первой степени без свободного члена (\(\sin x = \sqrt3\cos x\)), разделите на \(\cos x\) — получится \(\operatorname{tg} x = \sqrt3\). Делить можно: при \(\cos x = 0\) из уравнения следовало бы \(\sin x = 0\), а они не равны нулю одновременно.

Типичная ошибка. Для тангенса пишут период \(2\pi\) или две серии со знаком \(\pm\). У тангенса одна серия с периодом \(\pi\): точки с одинаковым тангенсом диаметрально противоположны.

На ЕГЭ. Задание 14: уравнение \(\operatorname{tg}^2 x - 2\operatorname{tg} x - 3 = 0\) — замена \(t = \operatorname{tg} x\), корни \(t = 3\) и \(t = -1\), серии \(\operatorname{arctg} 3 + \pi k\) и \(-\dfrac{\pi}{4} + \pi k\). В ответе допускается \(\operatorname{arctg} 3\) — нетабличное значение не упрощают.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward