Сложный аргумент: sin(kx + b) = a
Если под знаком функции стоит не \(x\), а выражение \(kx + b\), сначала решают уравнение относительно этого выражения, а потом выражают \(x\). Период корней меняется: он делится на \(k\).
Алгоритм. 1) Обозначить аргумент \(t = kx + b\) и решить простейшее уравнение относительно \(t\). 2) Подставить обратно: \(kx + b = t_0 + T k'\). 3) Выразить \(x\): вычесть \(b\) и разделить всё, включая период, на \(k\): \[\sin(kx + b) = a \Rightarrow x = \dfrac{(-1)^n\arcsin a - b}{k} + \dfrac{\pi n}{k}, \; n \in \mathbb Z.\]
Как это работает. Решим уравнение \(\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac12\) и найдём наименьший положительный корень.
- Относительно аргумента: \(2x - \dfrac{\pi}{3} = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\).
- Знак плюс: \(2x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k\). Знак минус: \(2x = 2\pi k\), \(x = \pi k\).
- Положительные корни: \(\dfrac{\pi}{3}\) (при \(k = 0\) в первой серии) и \(\pi\) (при \(k = 1\) во второй). Наименьший — \(\dfrac{\pi}{3}\). Ответ: \(\dfrac{\pi}{3} + \pi k\), \(\pi k\); наименьший положительный \(\dfrac{\pi}{3}\).
Ещё пример. Найдите наименьший положительный корень уравнения \(\sin\dfrac{\pi x}{6} = \dfrac12\). Ответ дайте в виде числа.
Решение. \(\dfrac{\pi x}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\) или \(\dfrac{\pi x}{6} = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\). Умножаем на \(\dfrac{6}{\pi}\): \(x = 1 + 12k\) или \(x = 5 + 12k\). Наименьший положительный — 1. Ответ: 1.
Лайфхак. Уравнения вида \(\sin\dfrac{\pi x}{n} = a\) дают корни-числа без \(\pi\): множитель \(\dfrac{\pi}{n}\) сокращается. Такие уравнения — задание 7 с ответом «наименьший положительный корень»: переберите \(k = 0\) и \(k = -1\) в каждой серии и выберите наименьшее положительное.
Типичная ошибка. Делят на \(k\) только «главную часть», забывая про период: из \(2x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k\) получают \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\). Период тоже делится: \(\pi k\).
На ЕГЭ. Задание 7: «Найдите корень уравнения \(\cos\dfrac{\pi(x - 7)}{3} = \dfrac12\); в ответе запишите наибольший отрицательный корень». В задании 14 сложный аргумент встречается в виде \(\sin 2x\), \(\cos\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\): его сначала раскрывают формулами двойного угла или приведения.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward