Сведение к квадратному уравнению
Если в уравнении есть \(\sin^2 x\) и \(\sin x\) (или \(\cos^2 x\) и \(\cos x\)), это квадратное уравнение относительно одной функции. Если присутствуют обе функции, одну выражают через другую основным тождеством или формулой двойного угла.
Приём. Замена \(t = \sin x\) (или \(\cos x\)), обязательно с условием \(|t| \le 1\). Переходы к одной функции: \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\), \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\), \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1\). Корни \(t\) вне отрезка \([-1; 1]\) отбрасывают с объяснением.
Как это работает. Решим уравнение \(2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0\).
- Замена \(t = \sin x\), \(|t| \le 1\): \(2t^2 - 5t + 2 = 0\), \(D = 25 - 16 = 9\), \(t = \dfrac{5 \pm 3}{4}\): \(t = 2\) или \(t = \dfrac12\).
- \(t = 2\) не подходит: синус не превосходит 1.
- \(\sin x = \dfrac12\): \(x = (-1)^k\dfrac{\pi}{6} + \pi k\). Ответ: \((-1)^k\dfrac{\pi}{6} + \pi k\), \(k \in \mathbb Z\).
Ещё пример. Решите уравнение \(\cos 2x + 3\sin x - 2 = 0\).
Решение. \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\): \(1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0\), то есть \(2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0\). Корни \(\sin x = 1\) и \(\sin x = \dfrac12\). Серии: \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\); \(x = (-1)^k\dfrac{\pi}{6} + \pi k\). Ответ: обе серии.
Лайфхак. Какую запись \(\cos 2x\) выбрать, подсказывает «одинокая» функция в уравнении: есть \(\sin x\) — берите \(1 - 2\sin^2 x\); есть \(\cos x\) — берите \(2\cos^2 x - 1\). Тогда уравнение сразу становится квадратным относительно нужной функции.
Типичная ошибка. Корень \(t = 2\) переносят в ответ как «\(\sin x = 2\), \(x = \arcsin 2 + \ldots\)». Арксинус двойки не существует. Проверка \(|t| \le 1\) — обязательный шаг.
На ЕГЭ. Это самый частый тип пункта а) задания 14: \(2\cos^2 x + 5\sin x - 4 = 0\), \(\cos 2x = 1 - \sin x\) и подобные. Решение занимает 5–6 строк; главное — не потерять серию и указать, почему отброшен лишний корень.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward