Однородные уравнения

11 заданий

Уравнение называют однородным, если все его слагаемые имеют одинаковую суммарную степень относительно \(\sin x\) и \(\cos x\): например, \(a\sin x + b\cos x = 0\) (первая степень) или \(a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0\) (вторая). Такие уравнения делят на старшую степень косинуса и получают уравнение относительно тангенса.

Правило. \[a\sin x + b\cos x = 0 \;\xrightarrow{\;:\cos x\;}\; a\operatorname{tg} x + b = 0;\] \[a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0 \;\xrightarrow{\;:\cos^2 x\;}\; a\operatorname{tg}^2 x + b\operatorname{tg} x + c = 0.\] Делить можно, если \(a \ne 0\): при \(\cos x = 0\) из уравнения следовало бы \(\sin x = 0\), что невозможно одновременно. Если справа стоит число, его заменяют на \(c(\sin^2 x + \cos^2 x)\).

Как это работает. Решим уравнение \(\sin^2 x - 3\sin x\cos x + 2\cos^2 x = 0\).

Проверяем, что \(\cos x = 0\) не даёт решений: тогда \(\sin^2 x = 0\), но \(\sin x\) и \(\cos x\) не равны нулю одновременно. Делим на \(\cos^2 x\).
\(\operatorname{tg}^2 x - 3\operatorname{tg} x + 2 = 0\), \(t = \operatorname{tg} x\): \(t = 1\) или \(t = 2\).
\(x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k\) или \(x = \operatorname{arctg} 2 + \pi k\). Ответ: обе серии.

Ещё пример. Решите уравнение \(\sin^2 x + \sin x\cos x = 1\).
Решение. Заменяем \(1 = \sin^2 x + \cos^2 x\): \(\sin^2 x + \sin x\cos x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0\), то есть \(\sin x\cos x - \cos^2 x = 0\), \(\cos x(\sin x - \cos x) = 0\). Корни: \(\cos x = 0\), \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\); \(\operatorname{tg} x = 1\), \(x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k\). Ответ: обе серии.

Лайфхак. Перед делением напишите одну фразу: «\(\cos x \ne 0\), иначе из уравнения следует \(\sin x = 0\), что невозможно». Эта строка оправдывает деление в глазах эксперта и защищает от потери корней.

Типичная ошибка. Делят на \(\cos x\) уравнение, которое не является однородным, например \(\sin 2x = \sqrt3\cos x\). Здесь \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\), и при \(\cos x = 0\) уравнение выполняется — корни теряются. Такие уравнения решают разложением на множители.

На ЕГЭ. Однородные уравнения второй степени — типичное задание 14: \(2\sin^2 x - \sin x\cos x - \cos^2 x = 0\). Ответ с арктангенсом нетабличного числа допустим: \(x = -\operatorname{arctg}\dfrac12 + \pi k\).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward